Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений.
ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
69
а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями
^ = Р(х,у), %- = Q(x,y). (4.2)
Предположим, как п прежде, что для системы уравнений
(4.2) выполняются теоремы единственности решения и его непрерывной зависимости от начальных условий по крайней мере в сторону возрастания времени, а фазовое пространство представляет собою плоскость.
Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени t — О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М.
Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на а
основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть s и s — координаты точки М и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость
s = / (s), (4.3)
которая называется функцией последования. Она выражает закон некоторого точечного отображения отрезка АВ (или его части) в себя, устанавливая взаимно однозначное соответствие между точками этого отрезка и их последующими. Тем самым задача изучения структуры разбиения фазовой плоскости (или ее части) на траектории сводится
70
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 4
к изучению структуры соответствующего точечного отображения Т отрезка без контакта в себя с функцией последования (4.3). Геометрически непосредственно ясно (рис. 4.1), что для существования функции последования необходимо, чтобы траектории на фазовой плоскости обладали свойством возвращаемости, причем возвращение изображающей точки па отрезок без контакта должно происходить за конечный промежуток времени.
Для замкнутой фазовой траектории точка М совпадает со своей последующей, поэтому s* — / (s*). Точка s — s* называется неподвижной точкой точечного отображения Т. Отсюда следует, что отыскание замкнутых траекторий
(предельных циклом) па фазовой плоскости сводится к отысканию неподвижных точек точечного отображения Т. Эта задача может быть решена графически при помощи построения на плоскости ss графика функции s = / (s). Кривая s = / (s) обладает тем свойством, что ее производная ds/ds всегда поло-5 жительна, так как в силу тео-Рис. 4.2 ремы Коши фазовые траектории
не могут пересекаться. Неподвижные точки отображения Т находятся из условия пересечения графика функции последования s -- / (s) с биссектрисой s = s. Указанное геометрическое построение называется диаграммой Ламерея (рис. 4.2).
Существенно, что характер поведения кривой s = / (s) вблизи точки S = s полностью определяется характером поведения фазовых траекторий вблизи соответствующего этой точке предельного цикла. Это позволяет сформулировать на языке точечных преобразований условие устойчивости предельного цикла. Рассмотрим последовательность точек, определяемую соотношениями
«1 = / (s), s2 = / fo), s3 = / (s2), . . . (4.4)
Если фазовая траектория при t —>¦ оо стремится к предельному циклу, то соответствующая последовательность (4.4) будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку s = s*. И наоборот, из сходимости последовательности
(4.4) к неподвижной точке s = s* следует, что соответствующая ей фазовая траектория стремится при t —*¦ <х>
ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
71
к предельному циклу. В этом случае неподвижная точка называется устойчивой, ибо она соответствует устойчивому предельному циклу. Последовательность (4.4) можно изобразить на диаграмме рис. 4.2 в виде «лестницы Ламерея», направление перемещения по которой дает возможность наглядно определить устойчивость неподвижной точки
S = S* в большом (потому что это построение можно провести на всей кривой ? = / (.?)). Условие устойчивости неподвижной точки s = s* в малом дается следующей теоремой Кёнигса: неподвижная точках = s* точечного отображения s = / (s) устойчива, если | ds/ds |g=g* < 1, и неустойчива, если | ds/ds | a=s„
1*). Для доказательства этой теоремы достаточно линеаризовать функцию s = / (s) в малой окрестности точки s = s* и построить соответствующую
