Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 27

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 125 >> Следующая


которые показаны па рис. 4.9. В первом случае (рис. 4.9, а) при возрастании времени t изображающая точка переходит из области Dx в область Z)2 на участке (—оо, А) границы S, переходит из D% в Dx на участке {В, + о°) и остается па отрезке АВ границы S. Предположим, что в рассматриваемой динамической системе не могут происходить скачкообразные изменения фазовых переменных, т. е. они изменяются во времени непрерывно (по крайней мере в малой окрестности границы 5).Тогда при возрастании времени изображающая точка, пересекая границу S, на участках (—оо, А) и (В, +оо) переходит из одной области в другую. Непрерывный переход фазовой точки через поверхность разрыва из одной области гладкости

В)

Рис. 4.9
80

ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. к

в другую соответствует так называемому «сшиванию» решений по непрерывности. Иная ситуация возникает на участке стыка фазовых траекторий. При попадании на отрезок АВ изображающая точка вынуждена двигаться по нему до тех пор, пока не достигнет состояния равновесия, если оно существует, или одной из конечных точек отрезка АВ. Перемещение изображающей точки по отрезку А В называется скользящим движением. Во втором случае (рис. 4.9, б) изображающая точка при возрастании времени t. переходит из области /)х в область D2 на участке (—оо, А) и из области В2 в область Dx на участке (В, + оо) прямой S. Что касается отрезка АВ, то он является границей, разделяющей фазовые траектории областей Dx и D2, от которой изображающая точка, двигаясь по фазовым траекториям, уходит от прямой S с возрастанием времени. По аналогии с предыдущим случаем отрезок АВ на рис. 4.9, б можно назвать участком неустойчивого скользящего движения. Наконец, в третьем случае (рис. 4.9, в) устойчивое скользящее движение осуществляется на участке (—оо, А), неустойчивое скользящее движение — на участке (В, +°°)> а на отрезке АВ прямой S изображающая точка переходит из области D2 в область Dj_. Направление наклона касательных фазовых кривых, приходящих навстречу друг другу на участок (—оо, А) устойчивого скользящего движения, указывает на то, что движение изображающей точки по этому участку будет происходить в направлении точки 4*). После достижения точки А, которая не является состоянием равновесия рассматриваемой динамической системы, изображающая точка уходит в область Dx, по траектории, касающейся прямой S в точке А.

Рассмотрим теперь поведение фазовой точки вблизи и на поверхности разрыва правой части дифференциальных уравнений (4.1) в случае трехмерного фазового пространства. Пусть S — одна из поверхностей разрыва St и пусть к рассматриваемому ее участку примыкают области Dx и D2. По-прежнему предполагая, что в динамической системе не могут происходить скачкообразные изменения фазовых переменных, рассмотрим некоторые основные случаи, которые могут здесь представиться. На рис. 4.10 показан один из наиболее простых случаев. Упрощение состоит в том, что со стороны области Dx поведение фазо-

*) Строгое обоснование этого утверждения приведено в [9].
СИСТЕМЫ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

81

вых траекторий в малой окрестности поверхности S одинаково: двигаясь по любой из этих траекторий, изображающая точка или всегда приходит на рассматриваемый участок поверхности S (рис. 4.10, а и б), или уходит от этой поверхности (рис. 4.10, в). В малой окрестности поверхности S со стороны области D2 поведение фазовых

траекторий более сложное: двигаясь по кривым в области D2 рис. 4.10, а, изображающая точка или попадает на поверхность S, или, приближаясь к поверхности S, достигает некоторого минимального расстояния от этой поверхности и затем удаляется от нее, или, наконец, постоянно удаляется от поверхности S. Кривая L2, которая состоит из точек соприкосновения поверхности S с фазовыми траекториями области Z>2, отделяет область скользящих движений на поверхности S от области непрерывного перехода изображающей точки из D± в D2 (рис. 4.10, а и б) или из jD2 в Dx (рис. 4.10, в). В той части поверхности S, где фазовые траектории стыкуются, находится область устойчивых скользящих движений (на рис. 4.10, а и б эта область отмечена штриховкой). Слева от кривой Z2 на рис. 4.10, в находится область неустойчивых скользящих движений, которая по существу является граничной поверхностью, разделяющей фазовые траектории на участки с различным направлением движения по ним изображающей точки.

Если в результате устойчивого скользящего движения изображающая точка приходит на граничную кривую Ь2, то в случае рис. 4.10, а фазовая точка покидает поверхность S и уходит в область D2, а в случае рис. 4.10, б она продолжает движение вдоль кривой L2. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда поведение траекторий

Рис. 4.10
82

ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 4

в области Dx аналогично поведению траекторий в области D2 только что описанного случая. Тогда на поверхности S появляется кривая Lu аналогичная кривой L2 в первом случае. На рис. 4.11 показан практически часто встречающийся случай совпадения кривых Lx и Ь2. Область устойчивых скользящих движений заштрихована,
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed