Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Может оказаться, что ТМХ = М2 Ф Мъ однако при вторичном применении отображения Т точка М3 = ТМ2 = = Т (ТМХ) = ТъМг совпадает с точкой Мг. Точка = = М3 = М*, удовлетворяющая уравнению ТгМ* = М*, называется двукратной неподвижной точкой отображения Т. Предельный цикл, соответствующий двукратной неподвижной точке, состоит из двух витков, каждый из которых охватывает обе области I и II трехмерного фазового пространства Ф. В общем случае, когда М* является m-кратной неподвижной точкой отображения Т, для которой удовлетворяется соотношение TmM* = М* (и при целых s, меньших т, Т*М* ф М*), в фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы имеется предельный цикл, состоящий из т. витков.
Если для точечного отображения Tt воспользоваться выражениями (4.11), то процедуру отыскания неподвижных точек полного отображения Т = Т2-Т1 можно свести, аналогично случаю фазовой плоскости, к некоторым геометрическим построениям. Для этого рассмотрим трехмерное пространство ’Р с декартовыми координатными осями Ох', Оу’, Оъ'. Соотношения (4.11) определяют в этом пространстве уравнения поверхностей хг = (х', у'),
ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
77
у! = (а.1', у'), а соотношения (4.12) — уравнения поверхностей = ?3 (ж', г/'), г/2 = ?4 (х', у’). Отложим
сначала вдоль направления оси Oz' величины х1 — = (х', у') и х2 — ?3 (х', у'). В результате получаем
две поверхности, пересекающиеся вдоль некоторой кривой, проекция которой на плоскость г' — 0 дает кривую Гх (рис. 4.6).
Если затем отложить по направлению оси Oz' величины уг = у')
и Уг = ^4 (*'. У'), то получаем две другие поверхности, кривая пересечения которых дает в проекции на плоскость z' — 0 кривую Г2 (рис.
4.7). Совместим теперь плоскости z' = 0 рис.
4.6 и 4.7 с имеющимися на них кривыми 1\ и изображенную на рис. 4.8. Точки пересечения кривых на этой диаграмме (на рис. 4.8 показан случай одной точки пересечения) соответствуют неподвижным точкам отображения Т. В самом деле, в точке пересечения кривых Гх и Г2 на рис. 4.8 одновременно выполняются два условия: хх — ж2 и ух = г/2, которые говорят о том, что полное
Г2, тогда получим диаграмму,
точечное отображение Т — Т2-Т1 оставляет точку Мл = = Мг = М* неподвижной. Одновременно неподвижной точкой является, конечно, и точка М'* с координатами
78
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
х'*, у'* потому, что соответствующий предельный цикл проходит и через эту точку.
Этот геометрический прием отыскания неподвижных точек отображения Т при помощи построения некоторых поверхностей и кривых можно рассматривать как обобщение геометрического метода исследования точечного отображения прямой в прямую при помощи построения диаграммы Кёнигса—Ламерея на случай точечного отображения плоскости в плоскость. Объем вычислений, которые необходимо выполнить при построении поверхностей и кривых Tj и Г2, значительно превышает объем вычислений, связанных с построением диаграмм Кёнигса—Ламерея, и практически эти вычисления в большинстве случаев удается проделать лишь с привлечением электронных вычислительных машин.
Описанная процедура отыскания неподвижных точек отображения плоскости самой в себя может быть с успехом использована и в случае, когда фазовое пространство Ф разделяется на две области произвольно расположенной в этом пространстве плоскостью. В этом случае на разделяющей плоскости S нужно ввести систему координат, например, с декартовыми осями и, v и выразить фазовые переменные х, у, z через величины и, V. Эти соотношения будут иметь вид
х — ахи + Ьги + сг, у = а2и + b2v + с2,
z = а3и + b3v + с3, где at, bt, сi — известные постоянные коэффициенты. Затем находятся параметрические уравнения, выражающие иг, и щ, v2 через величины и , v .
§ 2. Динамические системы, описываемыё дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Скользящие движения
В ряде случаев рассмотрение динамической системы сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений (4.1), правые части которых терпят разрывы непрерывности первого рода на некоторых гладких поверхностях Sx, S2, . . ., <S\., разбивающих фазовое пространство на некоторые области D1, D2, .... Dm. В каждой из областей Dj (/ = 1,2, . . m) движение системы определяется дифференциальными уравнениями
/(— 1, 2, . . ., и,\
:==/г; (•? 1> Х2, . . ., ?,,) у. ^ 2 ^ ) > (1-^)
СИСТЕМЫ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
79
В которых функции fij {хх, . . хп) являются гладкими. Однако для полного описания рассматриваемой динамической системы необходимо еще выяснить, как движется изображающая точка в фазовом пространстве при попадании на граничные поверхности Slt S.,, . . ., Sk.
С этой целью рассмотрим сначала простейший случай двумерного фазового пространства. Пусть фазовая плоскость разделяется некоторой прямой S на две области Dx и D2, в каждой нз которых правые части соответствую, гцих дифференциальных уравнений (4.15) являются гладкими функциями фазовых переменных. Среди всех возможных типов поведения фазовых траекторий в окрестности прямой S рассмотрим лишь три основных случая-
