Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ч (t) - Xi (0) -I- 11 \fi{xi{0), . . .,.r,,.(0 ),l)dl (i - 1, 2, . . ., n). о
Отсюда, обозначая через т время перехода изображающей точки из М (хх, х%, . . ., хп) в М (хх, ж2, . . ., хп), получаем отображение Т с той же степенью точности:
1
Xi=Xi + jx^/i(x1, х2, . . ., хп, t) dt (i=rr 1,2,..., п). (4.25)
о
Найдем теперь точечное отображение сдвига Тх системы автономных дифференциальных уравнений (4.24). С точностью до малых членов порядка |i2 отображение Тх имеет вид
Xi (т) = Xi + (xFj (хих2, . . .,хп) т (i = 1, 2, . . ., п). (4.26)
Сравнивая выражения (4.25) и (4.26), нетрудно видеть, что они совпадают в случае, если функции /; и связаны соотношениями
t
Fi (^xi ^2’ * ¦ * ’ ^п) ^ /г (^1» *^'2Т ‘ * * ’ З'т 0
о
(г = 1, 2, . . п),
88
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. /,
т. е. когда функция F{ получается в результате усреднения по времени функции ft. При этом точечные отоб раженпя Т и Тх совпадают с точностью до цА Таким образом, возможность исследования дифференциальных уравнений (4.23) с помощью совсем не близких к ним уравнений (4.24) имеет свое обоснование с точки зрения метода точечных отображений в близости (порядка ц'-) их точечных отображений Т н У'т.
§ 4. Примеры исследования динамики систем
при иомощи метода точечных отображении
В этом параграфе приводится ряд примеров динамических систем второго и третьего порядка, исследование которых при помощи метода точечных отображений оказывается весьма эффективным.
Пример 1. Простейшая модель часов [8]. Основными рабочими деталями часов являются балансир А и ходовой механизм В (рис. 4.13). При нормальной работе ча-
вия, а также не учитывают обратное влияние балансира на ходовой механизм. При такой постановке задача сводится к рассмотрению колебаний балансира, которому в определенные моменты времени сообщается внешний импульс. Значение импульса и момент его приложения определяются состоянием балансира. Таким образом, рассматриваемую модель часов можно представить в виде осциллятора, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка
которому в состояниях, удовлетворяющих некоторому соотношению вида / (х, х) = 0, сообщается импульс р = = р (х, х). Фазовыми переменными описанной модели динамической системы являются переменные х и у — х, а пространство состояний представляет собою двумерную плоскость ху с разрезом по кривой / (х, у) — 0, в точках
Рис. 4.13
сов балансир совершает незатухающие колебания, которые поддерживаются в результате взаимодействия балансира с ходовым механизмом. В простейшей модели часов обычно пренебрегают временем этого взаимодейст-
х + 2hr + ы2х = О,
(4.27)
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
89
которой система получает «удар» в виде импульса р (рис. 4.14). Заштрихованная сторона линии разреза на рис. 4.14 соответствует доударным состояниям балансира. Достигнув кривой / (х, у) = 0 после движения на фазовой плоскости, согласно дифференциальному уравнению (4.27), изображающая точка совершает мгновенный скачок в новое положение [согласно формулам
~ Уп — Уя + Р ('^Д! J/д))
(4.28)
где (жд, уя) — доударное состояние, (хи, г/п) — послеударное состояние системы. Решения уравнения (4.27) вместе с соотношениями (4.28) определяют на линии разреза точечное отображение Т, неподвижные устойчивые точки которого соответствуют устойчивым периодическим колебаниям балансира, т. е. нормальной работе часового механизма.
Найдем вид точечного отображения Т в случае, когда балансиру сообщается постоянный по величине импульс р = const в точках полуоси х = 0, у 0. Подставляя в общее решение уравнения (4.28)
x = e~ht (A cos Qt + В sin Ш), у — e~ht [(5Q — Ah) cos Ш — (Л?2 + Bh) sin Q?]
(?2 = |/"coa — h2) начальные значения t = 0, x — 0, у — уг, получим x sin Ш, у — yle ht(coa Ш — hQ~l sin Sit).
Чериз время г - 2n/tl изображающая точка вноиь придет на полупрямую .г 0, // ' ¦ 0 (рис. 4.15), имея ординату у' ----- с ^уу (6 - 2nh (or — h2Y'!~), Затем, согласно условию, она совершает скачок в точку у2 — у' -|- р этой полупрямой. В результате точка у = уг полупрямой х = 0, у 0 преобразуется в точку у = у2 этой же полупрямой по закону
У% = Уге~6 + Р, (4.29)
который и представляет искомое отображение Т. На плоскости уху2 соотношение (4.29) изображается прямой, кото-
00 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
рая пересекает биссектрису первого квадранта в точке У\ = Уг~ У* Рис- (4.16, а). Из полученной таким образом диаграммы Ламерея непосредственно видно, что точечное отображение Т рассматриваемой модели часов обладает единственной глобально ^устойчивой неподвижной точкой.
Если при передаче импульса балансиру сохраняется постоянным не импульс, а энергия, тогда передаваемый балансиру импульс равен
