Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.11
а область неустойчивых скользящих движений отмечена точками. Более общий случай, когда кривые Lx и Ь2 не совпадают, изображен на рис. 4.12, а, б, в. Границу области скользящих движений на рис. 4.12 образуют кривые Ьг и Ьг. Если изображающая точка в результате устойчивого скользящего движения по поверхности S приходит на границу области — кривую Lx или Ь2, то в дальнейшем фазовая точка или движется вдоль этой границы, если эта граница является устойчивым множеством (например, кривая Ь2 на рис. 4.12), или уходит в одну из областей, примыкающих к поверхности S. (Например, при достижении кривой Lx на рис. 4.12, в изображающая точка уходит в область Dv)
В общем случае n-мерного фазового пространства изображающая точка, пришедшая на устойчивую границу S размерности гг — 2 области скользящих движений размерности гг — 1, движется по ней до тех пор, пока не дойдет до соответствующей границы размерности п — 3 и т. д. вплоть до границы нулевой размерности. В соответствии с этим описанием фазовое пространство Ф распадается па подпространства Ф*, роль которых играют области Dj размерности гг, области устойчивых скользящих движений на граничных поверхностях St размерности гг — 1, их границы размерности гг — 2, гг — 3 и т. д. [9].
Вопрос о том, каким уравнениям подчиняется скользящее движение, решается после рассмотрения характера
СИСТЕМЫ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
83
той идеализации, в результате которой возникла разрывность правой части дифференциальных уравнений (4.1). В случае, когда некоторая характеристика, имеющая участок с крутым наклоном касательной, заменяется двумя горизонтальными прямыми с разрывом первого рода
Рис. 4.12
(т. е. идеализируется при помощи так называемой Z-xa-рактеристики), уравнения скользящего движения можно получить следующим предельным переходом: участок кривой с крутым наклоном заменяется сначала наклонной прямой, далее составляются уравнения движения системы в этой «переходной» области и затем совершается переход к пределу, при котором угол наклона прямой устремляется к значению л/2. В рассмотренном случае разрывность правых частей дифференциальных уравнений движения является идеализацией очень быстрого изменения правых частей в окрестности поверхностей S. В других случаях эта разрывность может быть следствием пренебрежения некоторыми быстро меняющимися в окрестности S дополнительными переменными ?*, от которых зависят правые части системы уравнений (4.1), а сами уравнения
(4.1) являются упрощением некоторой более общей системы дифференциальных уравнений вида
/г (*^ii *^2, . . ., Хп1 ^2, • • ч ^m) 1 (4.16)
Fj(x 1’ • • ч ^2i • • ч Sli §2i • • ч Sт) 0 . 17)
(г = 1, 2, . . ., п, 7 = 1,2,.. ., т),
где присоединенные уравнения (4.17) и зависимость правых частей уравнений (4.16) от переменных ?2, . . ., |т нам не известны. При этом, однако,; предполагается, что в силу'уравнений(4,16) и (4.17) вне малой окрестности
84 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. /,
поверхности S/ (I = 1, 2, . . к) функции fl (хг, х2, ¦ ¦ ¦ . . хп, ?2, . . . ?п) пренебрежимо мало отличаются от
функций fu (хх, х2, . . ., хп), /.> (хх, х2, . . . ., хп) в уравнениях (4.15), описывающих движение системы в областях
D, и Dr, отделенных одна от другой поверхностью St. Кроме того, должно быть известно, что в окрестности поверхности St происходит быстрое изменение величин ?а, • • •, %mi идеализация которого скачкообразным изменением приводит к разрывности правых частей уравнений
(4.1). При этих условиях предельный переход, частный случай которого был описан выше, приводит к правильным уравнениям скользящих движений. Общий прием составления уравнений скользящих движений в практически важном частном случае, когда разрыв непрерывности порождается одной быстро меняющейся вблизи поверхности S ограниченной функцией Q (х, ?), указан в книге [9].
§ 3. Точечное отображение сдвига Тх
и его применение к изучению вынужденных
и параметрических колебаний динамической системы
В § 1 было показано, что динамической системе, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями (4.1), можно сопоставить некоторое точечное отображение Т при помощи отрезка без контакта в случае двумерного фазового пространства или при помощи секущей поверхности в случае трехмерного пространства. В этом параграфе мы рассмотрим еще один тип точечного отображения, называемого отображением сдвига. По определению, отображением сдвига Тх динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями] вида
Xt fi {х 1, x2l . . ., хп, t) (i 1,2,..., ?z), (4.18)
называется точечное обображение, ставящее в соответствие каждой точке фазового пространства такую точку, в которую эта точка! перейдет согласно дифференциальным уравнениям (4.18); спустя время т. При этом предполагается, что дифференциальные уравнения (4.18) допускают единственное решение, определенное для всех значений времени t. При различных значениях т на интервале
