Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 20

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 125 >> Следующая


В заключение выделим область параметров х0, у0, при которых в системе не могут возникнуть автоколебания. Для этого воспользуемся критерием Бендиксона, согласно которому предельные циклы *) отсутствуют

*) Имеются в виду предельные циклы, целиком лежащие п этой области.
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ

59

„ , V дР , dQ

в топ ооласти фазовой плоскости, где выражение

не меняет знак. Граница этой области определяется равенством

JL + Ж^о.

дх ду

Подставляя в левую часть этого равенства выражения (3.11), получаем уравнение кривой

х — г/2 [1 + (а + (3) е1^].

(3.15)

Потребовав, чтобы кривая

(3.15) не пересекалась с циклом без контакта KLMN, приходим к следующим условиям: циклы заведомо отсутствуют в заштрихованной области плоскости у0х0 (рис. 3.12), ограниченной прямой х0 = х0, где ?0 — корень уравнения

(X + (3) ехр (\Гх0 + 1 j/Ij х~'и =

= 2 ]Лг0 (]/ х0 + \ 4- }Лх„),

а также частью кривой

х0 = г/oil + (А |- Р)1^»],

которая в своем минимуме касается прямой х0 = х0. Пример 2. Задача Жуковского о полете планера [1].

Рассмотрим полет планера в вертикальной плоскости xz (ось Oz направлена вверх) при следующих предположениях: 1) сила сопротивления воздуха пропорцио-

нальна квадрату скорости полета; 2) угол атаки планера остается постоянным независимо от режима полета. При сделанных допущениях аэродинамические коэффициенты силы сопротивления воздуха Сх и подъемной силы крыльев планера С2 будут постоянными. Составим уравнения движения центра масс планера в проекциях на касательную и нормаль к его траектории

т = - rag sin 0----------1- pSC^2,

mv -jp = — mg cos 0 + -у pSC2v2.

Ho

Рис. 3.12
60 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3

Здесь т — масса иланера, v — скорость движения, 0 — угол между касательной к траектории и осью Ох, g — ускорение силы тяжести, р — плотность воздуха, S — площадь крыльев планера. Введем далее безразмерные величины: ¦

где точкой сверху обозначено дифференцирование но безразмерному времени т. Из вида уравнений (3.17) следует, что динамика полета планера характеризуется одним существенным положительным параметром а, который равен отношению силы сопротивления движению планера к его подъемной силе.

Поскольку значения (0, у) и (0 + 2я, у) соответствуют одному и тому же состоянию, фазовым пространством рассматриваемой динамической системы является поверхность цилиндра, на котором вдоль образующей отложена величина у, а вдоль направляющей — угол 0. Будем рассматривать лишь область у 0 (тем самым исключается случай полета хвостом вперед), в которой интегральные кривые, согласно (3.17), удовлетворяют уравнению

Интегральная кривая у — 0 является особой фазовой траекторией системы уравнений (3.17) и соответствует мгновенному опрокидыванию планера из положения 0 = я/2 в положение 0 = — я/2 при обращении скорости v в нуль. Рассмотрим сначала частный случай а = 0, когда силы сопротивления отсутствуют и рассматриваемая система оказывается консервативной. Уравнения движения (3.17) в этом случае принимают вид

и запишем уравнения (3.1Н) в виде

/) = — sin 0 — ay2, о =

у2 — cos 0

(3.17)

У

dy ______ у (sin 0 + ay2)

(3.18)

d0 cos 0 — i/a

у = — sin 0, 0

у2 — cos 0 У

(3.19)

Единственное состояние равновесия системы (3.19) находится в точке 0 = 0, у = 1 и соответствует режиму горизонтального полета планера с постоянной скоростью.
§ 51 ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ 61

Фазовые траектории определяются соотношением

у cos 0 — const, (3.20)

которое представляет собой первый интеграл уравнения

(3.18) при а == 0. Согласно (3.20) на фазовом цилиндре имеются две другие особые точки с координатами 0 =

= л/2, у 0 и 0 - — л/2, у — 0. Однако они не являются состояниями равновесия системы (3.19), поскольку в этих точках производная у отлична от нуля. Для построения интегральных кривых на фазовом цилиндре удобно воспользоваться кривыми (3.20) на вспомогательной плоскости, где по осям координат отложены величины у и cos 0 (рис. 3.13). Значению С = — 2/3 соответствует особая точка 0 = 0, у = 1 типа центра. Для значений С на интервале —2/3 С 0 фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, охватывающие центр, и для значений С 0 — замкнутые кривые, охватывающие фазовый цилиндр. Интегральная кривая, соответствующая значению С = 0, разделяет эти два типа замкнутых траекторий. Она состоит из сепаратрис седловых особых точек 0 = я/2, у = 0 и 0 = — я/2, у — 0, определяемых уравнением у = 0, — л/2 0 я/2 и у2 — 3 cos 0.

Разбиение фазового цилиндра на траектории приведено иа рис. 3.14, где изображена развертка цилиндра на плоскость. Траектории движения планера, соответствующие различным типам фазовых траекторий, показаны на рис. 3.15.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed