Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р= У У2 + 8 — У, гДе 6 = const-В этом случае точечное отображение Т имеет вид
у2 = е~6 Vу\ + ех (ег = const).
(4.30)
Соотношение (4.30) изображается на плоскости угу2 в виде отрезка гиперболы, пересекающей биссектрису в единственной точке Ух = у2 = у*, которая является глобально устойчивой неподвижной точкой отображения Т. Соот-
Рис. 4.16
ветствушщан этому случаю диаграмма Ламерея показана на рис. 4.16, б.
Пример 2. Экстремальный регулятор с автоколебательным типом поиска [7]. Для регулирования параметров объекта, содержащего медленно изменяющиеся величины, которые характеризуют неконтролируемые процессы в объекте, применяют самонастраивающиеся систе-
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
91
мы автоматического регулирования. Одной из таких систем и является экстремальный регулятор, включающий в себя объект регулирования и управляющий автомат (рис. 4.17). Объект регулирования имеет входную управляемую переменную и и выходную переменную ф, значение которой должно поддерживаться наибольшим
объект
,мсулироЗашя
1 управляющий
j автомат
Рис. 4.17
+ 7
G 7
j«T
Р ц t_
о 8
I
Рис. 4.18
(экстремальным). Поэтому регулятор, выполняющий эту задачу, и называется экстремальным. Рассмотрим динамику простейшей системы, объект регулирования которой описывается дифференциальным уравнением первого порядка
—а и“
(4.31)
где Т — постоянная времени объекта, а — медленно изменяющийся параметр, который мы пока будем считать постоянным. Согласно рис. 4.17, управляющий автомат вырабатывает управляющее воздействие и по входной переменной ф. В зависимости от способа формирования переменной и различают автоколебательный и шаговый тип поиска экстремума. Рассмотрим простую схему управляющего автомата, который осуществляет автоколебательный тип поиска, определяемый уравнениями
й = т], Т] = Ф [й (t — 0), ф (t — 0)], (4.32)
где
—{— 1, если в течение времени 0 до этого й^>0,
Ф + А 0 или й 0, ф + Д 0;
- 1, если в течение времени 0 до этого й <^0,
Ф + А 0 или й 0, ф + Д 0.
Здесь 0 — время запаздывания при срабатывании реле, реверсивного устройства и дифференциаторов; А — порог
Ф[м,ФГ
92
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ.
нечувствительности, связанный с особенностями характеристики реле. Нелинейная функция Ф [й, ф] реализуется при помощи двух поляризованных реле, соединенных в схему, показанную на рис. 4.18. В самом деле, пусть входному значению й = + 1 соответствует знак (+) на клемме 1 и знак (—) на клемме 2. При этом якорь реле / притянется к клемме 5 и замкнет цент. ,1, 5, 4, на вход которой подается ф. Значению ф Д )> О соответствует знак (+) па клемме 3 и :шак (—) на клемме 4. При атом якорь реле II притягивается к клемме 7 и па ныходе получаем г| = + 1. Напротив, значению ф + А < О соответствует знак (—) на клемме 3 и знак (+) на клемме 4. В этом случае якорь реле II притягивается к клемме 8 и на выходе получаем rj — — 1. Аналогичное рассмотрение случая, когда на входные клеммы 1, 2 подается напряжение (—), (+), соответствующее значению й = — 1, убеждает нас в том, что при ф + А 0 получаем на выходе значение од = — 1, а при ф + А < 0 — значение 31 = + 1.
Описанная модель экстремального регулятора характеризуется четырьмя положительными физическими параметрами Т, а, А и 0. Согласно уравнениям (4.32) управляющий автомат обладает двумя состояниями, которым соответствуют значения выхода г) = + 1 и Л = — 1-Фазовыми переменными экстремального регулятора, который представляет собою автономную динамическую систему, в соответствии с уравнениями (4.31) и (4.32), являются переменные и, <р и состояние n = 1 или ц = — 1 управляющего автомата. Фазовое пространство состоит из двух плоскостей мф. На одной плоскости величина j] = + 1, а переменные и, ф подчиняются дифференциальным уравнениям
Гф + ф = — а и2, й = + 1. (4.33)
На второй плоскости величина г) = — 1, а переменные и, Ф изменяются согласно уравнениям
7’ф + Ф = — аи2, й = — 1, (4.34)
При смене значения yj, согласно соотношениям (4.32), изображающая точка переходит с одной плоскости на другую. Из уравнения (4.31) следует, что величина ф = О на кривой ф = — аи2. Выше этой кривой производная ф < 0, и ниже кривой производная ф 0 на каждой из плоскостей г) = + 1 и г) = —1. Величина ф + А отрица-
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ 93
тельна в области 0+ над кривой 1', определяемой уравнением
ф = ГД — а и2,
и положительна в области 0_ под этой кривой (рис. 4.19). В соответствии с (4.32) переход изображающей точки с одного листа фазовой плоскости Ф на другой происходит через каждый промежуток времени длительности 0 пребывания фазовой точки н области О.. Поэтому к области О движение изображающей точки происходит вниз
