Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 19

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 125 >> Следующая


Для этого построим сначала цикл без контакта, охватывающий все состояния равновесия. В качестве цикла без контакта возьмем прямоугольник KLMN, образуемый от-

Ххп

резками прямых х= j-pf-, х = х0, у = у0шу = ум, гдеум —

ордината верхней точки пересечения изоклины dyldx= 0 спрямой х = х0 (см рис. 3.6). Согласно уравнениям (3.7) в
56 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3

Ххп / dx \

точках прямой х = ^ ^ производная х х =

Xi' ' ‘ о/( )

— ~1 _j_u^ (1 — е~1/у) 0, в точках прямой л; = хд, наобо-

рот, _ = —x0e~V'J 0. Подставляя у — у0 в пра-

вую часть второго уравнения системы (3.7), находим == xe~'!v* "> 0, а на отрезке прямой у — Ум-*

\ /У=Уо

0 < х < х0 производная <С Это означает,

что все фазовые траектории входят внутрь прямоугольника KLMN: если изображающая точка попадает внутрь прямоугольника KLMN, то она в дальнейшем остается в этой области. Нетрудно видеть, что не существует предельных циклов, не охватывающих контур KLMN, потому что вне контура KLMN нет особых точек. Не может быть также предельных циклов, охватывающих контур KLMN, потому что на всей полупрямой х = Хх0/ (1 + X), часть которой KL составляет границу контура, производная dx/dt положительна. Таким образом, дальнейшее исследование фазового портрета рассматриваемой системы достаточно провести лишь внутри прямоугольника KLMN.

При значениях параметров х0,у0 в области 1 (рис. 3.8), когда на фазовой плоскости ху имеется одна устойчивая особая точка, возможны два случая: 1) предельные циклы отсутствуют, 2) имеются два предельных цикла, охватывающие особую точку *), внешний цикл устойчивый, а внутренний — неустойчивый. Фазовые портреты, соответствующие этим случаям, изображены на рис. 3.9. При значениях параметров хд, у0 в области 2 рис. 3.8, когда единственная особая точка является неустойчивой, на фазовой плоскости существует устойчивый предельный цикл, и фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 3.10. Следовательно, для значений параметров х0, у о в области 2 рис. 3.8 в химическом реакторе при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания — незатухающие колебания концентрации вещества и температуры. Изменение параметров х0, у0, связанное с переходом из области 2 в область 1 на рис. 3.8, вызывает смену устойчивости единственного состояния равновесия. Характер бифуркации на

*) Здесь и далее все утверждения относительно числа предельных циклов верны, строго говоря, с точностью до их четного числа.
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ

57

этой плоскости параметров х0, у0 определяется знаком некоторого выражения а3, называемого ляпуновской величиной. Для рассматриваемого состояния равновесия а3^>0, поэтому, когда особая точка из неустойчивой превращается в устойчивую, то при этом из нее рождается неустойчивый предельный цикл. При удалении от границы в область 1 неустойчивый и устойчивый циклы сливаются и затем исчезают. Условие исчезновения предельных циклов определяет в области 1 рис. 3.8 границу между описанными выше случаями, которые изображены на рис. 3.9, а и б. При переходе из области 2

Рис, 3.9

в область 5 через границу Л — 0 вблизи острия клина или через салю острие неустойчивая особая точка —узел распадается на три особые точки: одно седло и два неустойчивых узла. Все они оказываются внутри предельного цикла (рис. 3.11). Нетрудно показать, что предельный цикл не сохраняется для всех значений параметров х„, ;/(| внутри кривой Д — 0. В самом дело, предельный цикл заведомо отсутствует в том случае, если точка изоклины dy/dx — 0, в которой касательная к изоклине вертикальна, находится вне прямоугольника KLMN. Из условий соприкосновения изоклины dy/dx = 0 с прямой х = XxJ(\ + К) и с прямой х = х0 получаются соответственно кривая

х0 ==¦ H1+AI (1 _ 2уп + /1 — 4j/0) ei + i i-iy0 , (3.13)
58 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3

а также кривая

2

*0 = 4- О1 - - Y^Wo) е, (3.14)

ограничивающие область плоскости уих0, в которой заведомо нет цикла, охватывающего все три особые точки. На рис. 3.8 изображены дуги этих кривых, расположенные внутри кривой А = 0. Предельный цикл заведомо отсутствует для значений х0, у0 в области над

кривой (3.13) (штриховая линия) и слева от кривой

(3.14) (штрихпунктирная линия). Каков механизм исчезновения устойчивого предельного цикла, охватывающего три особые точки? При удалении от острия клина по направлению к кривым (3.13) и (3.14) наступает момент, когда на фазовой плоскости возникает петля сепаратрисы, идущая из седла в седло и охватывающая крайние особые точки. При дальнейшем изменении параметров х„, уп происходит либо влипание цикла в эту петлю, либо рождение из петли неустойчивого предельного цикла, сливающегося впоследствии с устойчивым. В обоих случаях результатом является исчезновение устойчивого предельного цикла.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed