Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно сопоставить результаты этого численного эксперимента с аналогичным исследованием точечного отображения
отрезка [О, Я] в себя (рис. 7.87).
При А. = 1 было обнаружено, что все отрезки составляют единственный класс сообщающихся состояний. При 0,95 остался один концевой класс сообщающихся состояний,
отрезков, а все остальные отрезки попали в области их притяжения.
Отметим, что результат численного исследования при X = 1 согласуется с проведенным ранее аналитическим исследованием этого точечного отображения.
Описанный выше способ численного изучения применялся и к двумерному точечному отображению Т в случаях, изображенных на рис. 7.77, 7.79 и 7.80. При этом были обнаружены случаи с одним-единственным концевым классом, включающим очень большое число областей Ст;.
Заканчивая описание численных экспериментов притягивающих гомоклипических структур, рассмотрим еще движения, принадлежащие областям Glt G2, ¦ . Gm, соответствующим различным концевым классам сообщающихся состояний.
Пусть Gx — (J стг и пусть Рг — матрица пересечений
однако в него вошла лишь некоторая небольшая частьотрезков, на которые был разбит отрезок [0; 0,95]. При % = 0,9 появилось уже два концевых класса: один, состоящий из двух отрезков, и второй — из очень большого числа отрезков. Все остальные отрезки вошли в области притяжения либо первого, либо вто-
Рис. 7.87
Я
’р" рого концевого класса. При К = =0,8 было обнаружено два концевых класса, каждый из которых включал небольшие числа
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
333
областей alt . . ощ и их преобразований alt . . ащ-Напомним, что матрица Рх состоит из элементов jоц, равных нулю или единице в зависимости от того, пусто или непусто пересечение областей стг и Oj.
Пусть х0 — произвольная точка области Gx и
. . ., х-х, х0, хг, x<i, . * . (7.101)
— проходящая через нее фазовая траектория, т. е. последовательные ее преобразования с помощью отображения Т.
Вид матрицы накладывает определенные ограничения на точечную последовательность (7.101). Именно, если точка xs tE 0(, то точка может принадлежать области Oj, лишь если Pij — 1.
Выполнение этих условий обязательно для фазовой траектории области G±. Вместе с тем выполнение их еще не означает, что такая фазовая траектория на самом деле существует. Для того чтобы такие фазовые траектории существовали, необходимо выполнение каких-то дополнительных условий. Метод вспомогательных отображений позволяет указать некоторые такие достаточные условия.
Пусть отображение Т (Uj, vs) — Т (ut, vt) допускает вспомогательное отображение Т, преобразующее область Oi (I! ui || < 6Ь I Vj || < Ej) в область a;- (|| и} || < Ь}, || vt || < ej.) Пусть это требование выполняется для какого-то числа пар пересекающихся областей, и пусть Рх — матрица Р±, у которой оставлены равными единице только те элементы ptj, для которых соответствующая пара пересекающихся областей стг и 0;- удовлетворяет этому предположению. Тогда для любой последовательности областей
• • •. ai-i „> °Н> ¦ • • (7.102)
такой, что элементы Pisis+1 матрицы Рх равны единице для всех я, существует фазовая траектория (7.101) такая, что хк Е= ои для всех к. Это утверждение допускает при-
К '
менение к рассматриваемым ранее примерам.
Вернемся к общему рассмотрению притягивающих го-моклинических структур и порождаемых ими стохастических движений.
Приводимые выше примеры притягивающих структур были получены либо путем малых возмущений консервативных систем, либо путем специальным образом строящихся точечных отображений,
334
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Очень хорошим примером конкретной системы, в которой реализуется притягивающая гомоклиническая структура, представляющаяся в виде одной из схем рис. 7.79, являются получившие широкую известность уравнения Лоренца
возникшие как весьма упрощенное трехмодовое описание конвективного течения жидкости между двумя горизонтальными разно нагретыми плоскостями. К частному случаю уравнений Лоренца с Ъ = 1 можно прийти, рассматривая циркуляцию жидкости в круговой вертикально
проходят инвариантные кривые S+ и S~ (рис. 7.88).
Важнейшей особенностью этого точечного отображения на секущей является наличие линии разрыва R, по разные стороны которой определены гладкие точечные отображения и Т2. Точечное отображение Тг преобразует линию R в точку Mi, а точечное отображение Т2 — ее же в точку М2, так что вся четырехугольная область!), ограничиваемая кривыми S+ и S~, преобразуется в две клиновидные области Ъг и D2. Области D1 и D2 лежат внутри области D. Затем при повторном преобразовании каждая из них преобразуется в две области Du, Dl2 и Dai, D22 соответственно и т. д. При каждом преобразовании какая-то часть области, лежаяр# вне области D, преобразуется внутрь нее. Таким образом, перед нами притягивающая гомоклиническая структура, предельное множество которой лежит внутри областя D и при этом отображение внутри области D седловое.
