Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 112

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 125 >> Следующая


Это инвариантные кривые точечного отображения, т. е. кривые, которые при преобразовании переходят в себя. Поэтому, если на такой кривой лежит какая-нибудь точка последовательности, то на ней лежат и все ее точки, причем они расположены на ней с сохранением порядка. Порядок следования точек последовательности определяет некоторое направление на инвариантной кривой, которое на рис.7.102 и 7.100 отмечено стрелками. Рис. 7.102 с изображением инвариантных кривых при обычном синхронизме можно было бы рассматривать и как разбиение фазовой плоскости системы некоторых дифференциальных уравнений. При этом неподвижные точки трактовались бы как состояния равновесия—седловые и узловые. Напротив, на рис. 7.100 имеются существенные отличия от того, что может быть на фазовой плоскости. Это отличие состоит в наличии пересечений инвариантных кривых, чего с фазовыми траекториями быть не может. Это отличие состоит еще и в том, как ведет себя сепаратрисная инвариантная кривая: она проходит вблизи себя туда и обратно, имеет сколь угодно крутые повороты. Вместе с тем сама себя она не пересекает, она пересекается с другой сепаратрисной инвариантной кривой.

Таким образом, разбиение плоскости инвариантными кривыми точечного отображения дает наглядное о нем
346

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

представление и может быть полезным для его исследования. Во многом оно похоже на разбиение фазовой плоскости на траектории. Однако имеются и существенные отличия.

Сформулируем основные свойства разбиения плоскости на инвариантные кривые. Прежде всего заметим, что задание фазовой точки в случае, когда ее движение задается дифференциальными уравнениями, однозначно определяет проходящую через нее фазовую кривую. Такого положения для инвариантных кривых нет. Задание точки М0 определяет лишь последовательность точек

. . . , М-z, М-х, М0, Mi, М2, • • .,

через которую эта инвариантная кривая должна проходить. Через эту последовательность точек проходит бесчисленное множество различных инвариантных кривых. Соединим две точки, именно М0 и Мх, любой кривой у. Преобразования Tly (г = . . ., —1, 0, 1, ...) образуют инвариантную кривую. Какую же инвариантную кривую выбрать? Естественно выбрать ту, которая наиболее удобна для изображения точечного отображения и полезна для его исследования. Исходя из этих соображений, будем выбирать инвариантные кривые, стремясь к тому, чтобы они не самопересекались. Заметим, что из самопересечения инвариантной кривой у в точке М следует наличие бесконечной последовательности точек самопересечения ТгМ (i — . . —1, 0, 1, ...) по одной на каждом «такте»

инвариантной кривой. Тактом инвариантной кривой назван любой ее отрезок, заключенный между точками х и Тх. Аналогично из взаимного пересечения двух инвариантных кривых в одной точке следует наличие бесчисленного числа их взаимопересечений по одной на каждом такте каждой из инвариантных кривых. Далее, из наличия этих бесконечных последовательностей точек пересечения может следовать наличие еще других пересечений и т. д.

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих (входящих) из нее инвариантных кривых. Такое же утверждение имеет место и для неподвижной точки типа фокуса, с той лишь разницей, что гладкость кривых не будет равномерной, Эти инвариантные кривые по рвоему
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ

виду такие же, как фазовые траектории в окрестности узлового состояния равновесия и фокуса. В окрестности седловой неподвижной точки имеются четыре гладкие инвариантные кривые — две входящие и две выходящие. Окрестность седловой особой точки также может быть заполнена семейством гладких инвариантных кривых, однако

лишь четыре из них оканчиваются или начинаются в неподвижной точке. Все это также находится в полной аналогии с фазовыми траекториями в окрестности седлового состояния равновесия. Заметим еще, что окрестности узловой неподвижной точки и фокуса можно заполнить гладкими замкнутыми преобразующимися друг в друга кривыми (рис. 7.103), а окрестность седловой неподвижной точки — семействами переходящих друг в друга гладких кривых, включающих в себя инвариантные сепаратрисные кривые (рис. 7.104).

Сказанное позволяет указать инвариантные кривые точечного отображения, которые не могут самопересекать-ся,—это продолжения инвариантных кривых неподвижных узловой точки и фокуса, а также сепаратрисных инвариантных кривых седловой неподвижной точки.

Перейдем теперь к вопросу о взаимных пересечениях этих инвариантных кривых. Инвариантные кривые, полученные продолжением локальных инвариантных кривых неподвижных точек, стремящихся либо в сторону возрастания времени, либо в сторону его убывания к одной и той же неподвижной точке, не взаимопересекаются. Таким образом, могут пересекаться только инвариантные кривые, имеющие различное асимптотическое поведение, как при возрастании времени, так и при его убывании.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed