Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 111

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 125 >> Следующая


На сепаратрисах седел Н = 0. В каждой из областей, на которые сепаратрисы разбивают плоскость, знаки Н указаны на рис. 7.98.

Влияние добавочного члена в уравнении (7.113) с параметром v можно интерпретировать как поворот поля в положительном направлении при \Н^> 0 и отрицательном при vtf < 0. В соответствии с этим при v 0 фазовые

^ ^ + [хФ! (г!\ г) + [х2Ф2 (Ч>, г, т, [х),

г = г + ц#! (if, г) + ц2/?2 (1)3, г, т, |1),

(7.113)

Конкретизируем вид функций Н. Пусть

Рис. 7.98

Рис. 7.99

Н (\|>, г) — г2 + X sin qty — X = const. (7.115)
342

\

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

1ГЛ. 7

траектории имеют вид, представленный на рис. 7.99. Тем самым установлен характер точечного отображения (7.112) с точностью до членов порядка jo,2. Сепаратрисные кривые на рис. 7.99 являются инвариантными кривыми седловых неподвижных точек отображения (7.113). За счет добавков порядка fi2 они уже не будут идти иэ седла в седло. В одном

из общих случаев они будут пересекаться, образуя некоторую гомо-клииическую структуру *), изображенную на рис. 7.100.

Направления движения последовательных положений фазовой точки через интервалы времени 2л в этой окрестности показаны на рис. 7.101, а. Вблизи седловых точек возможно случайное разветвление движения, в этом, собственно, и состоит в основном случайный

характер ее движения (рис. 7.101, б). При каждом проходе вблизи седловой точки фазовая точка имеет два варианта движения. Одно обозначим а, другое р. Тогда каждое движение в этой окрестности изобразится некоторой последовательностью символов вида

аарофрараофрра... (7.116)

Статистическое описание этой случайной последовательности можно получить, вводя вероятности появления символов аир после некоторого числа тех или иных символов, причем это описание будет тем более точным, чем больше число учитываемых предшествующих символов. При

*) Отметим, что это пересечение сепаратрис не может быть обнаружено асимптотическими методами ни в каком приближении, так как, согласно [41], приближение асимптотического метода состоит в замене исследования точечного отображения Tw рассмотрением отображения сдвига некоторой автономной системы. Отсюда следует и то, что ширина коридоров рис. 7.101, а при ц —> 0 менее любой степени ц.
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ

343

наиболее грубом описании вводятся вероятности р (а) и р ф); следующее, несколько более полное описание основывается на вероятностях

Р (а/а), Р (а/Р), р (p/а) и р (р/р), и т. д.

В первом случае перед нами процесс независимых испытаний, во втором — марковский процесс с двумя состояниями.

Вернемся к исходным уравнениям (7.110) для (7.114). При к = 0 они принимают вид

ср = <о + 2цг + ц2/ (ср, г, т, (1), г = — 2цл>г3 + (ф, г, т, ц),

и соответствующее автономное уравнение имеет негрубый устойчивый (}iv > 0) предельный цикл г = 0. При неавтономном периодическом его возмущении и к 0 возможно возникновение в его окрестности устойчивого установившегося движения, для которого переменная ф = at + of, где изменение фазы ф является случайным и может быть с той или иной степенью точности описано статистически. Это устойчивое установившееся движение является грубым образованием, структура которого не меняется от любых, достаточно малых гладких автономных и неавтономных нериодических возмущений.

Выбранный выше специальный способ возмущений показывает возможность перехода от тороидального интегрального многообразия с каким-то синхронизмом на нем к движению, названному стохастическим синхронизмом. Этот переход в пространстве параметров можно осуществлять и другими способами.

Рассмотрим в качественном плане, какие при этом могут происходить изменения.

7. Бифуркации синхронизмов. Выбранный выше специальный путь был удобен тем, что он позволил увидеть структуру возникающего нового установившегося движения, но поскольку множество стохастических синхронизмов образует в пространстве параметров область, то переход от обычного синхронизма к стохастическому возможен и общим образом.

Итак, речь идет о том, каким образом осуществляется общий переход от картинки рис. 7.102, где изображен обычный синхронизм, к картинке рис. 7.100 с изображением стохастического синхронизма.
344

МПбГОМЁРНЫЁ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

(ГЛ. 7
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ

345

Сделаем несколько общих замечаний, касающихся преобразования плоскости в плоскость. На рис. 7.102 и 7.100 показано поведение последовательных преобразований точек плоскости в плоскость при обычном и стохастическом синхронизмах. Эти картинки похожи на изображение разбиения фазовой плоскости на траектории. Однако на них кривые изображают не траектории движения фазовых точек.

Траекторией движения точки для точечного отображения плоскости в плоскость является последовательность точек, в которой каждая следующая точка получается преобразованием предыдущей.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed