Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
338
МНОГОМЕРНЫЕ ДЙНаМИЧЁСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 1
(7.106)
в окрестности Г запишутся в виде
ф = со + 7-Ф (ф, г) + Ц/ (ф, Г, Т, ц),
г = — ar + р (ф, г) г2 + Jig (ф, г, г, ц).
При достаточно малых ц у этих уравнений сохраняется существование гладкой, непрерывно зависящей от ц
тороидальной интегральной поверхности. Ее уравнения имеют вид г = [iR (ф, т, ц). (7.107)
Подставляя (7.107) в (7.106), найдем уравнение фазовых траекторий на интегральной тороидальной поверхности (7.107):
ф = со + цФ2 (ф, т, ц).(7.108) Рис. 7.93
Уравнение (7.108) определяет точечное отображение Т2п окружности г = 0в себя:
Ф = ф + 2псо + jiF (ф, ц), (7.109)
где F (ф, ц) — периодическая, периода 2п, функция ф. Такое отображение окружности в себя в грубом случае
исследовалось А. Г. Майером [33]. Отображение Т\п будет
такого же вида, как и (7.109), с той лишь разницей, что 2ясо заменится на 2ясод. Поэтому в случае резонанса, когда со = p/q, отображение Т\п примет вид (7.109), но без члена с со. Преобразование (7.109) с со = 0 может быть легко изучено, как это видно из диаграммы, изображенной на рис. 7.94. При этом нужно иметь в виду, что если ф* — неподвижная точка отображения Т%п, то и точки
Tinф* = ф* + 2ясок + (л (...) (к = 1, 2,. . ., q — 1)
также будут неподвижными точками. Поэтому точечное отображение Т%я имеет какое-то четное число 2тп групп неподвижных точек по q точек в каждой. Эти точки в общем случае поочередно устойчивые и неустойчивые. Для исходного преобразования (7.109) это означает наличие некоторого четного числа циклов устойчивых и неустойчивых неподвижных точек кратности q. В соответствии
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
339
с выясненным q-я итерация точечного отображения (7.109) окружности в себя при р = 1,д = 3и-т. = 1 имеет вид, показанный на рис. 7.95. Маленькие кружки соответствуют устойчивым трехкратным неподвижным точкам отображения (7.109), точки, отмеченные крёстиками, неустойчивым трехкратным неподвижным точкам.
В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых g-кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2щ (рис. 7.96), успеваю-
щее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2nq/p, и что 2л — период внешнего воздействия.
Таким образом, согласно изложенному, при достаточно малом (х возникает синхронизация автоколебательного движения и внешнего воздействия, эта синхронизация порядка p/q, когда в периоде возникшего периодического движения укладывается р периодов автоколебания автономной системы и q периодов внешней силы. Сказанное справедливо только при достаточно малых fx, вообще говоря, тем меньших, чем больше q. Поэтому для синхронизмов высокого порядка (большое q) сказанное может оказаться справедливым лишь при очень маленьких fx. Что же будет при некотором одном и том же малом |х, но для разных со? Этот вопрос сводится к исследованию зависимости от параметра так называемого числа вращения Пуанкаре у. При естественном предположении общего случая число
340
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
вращения у зависит от со, как показано на рис. 7.97. Эта зависимость непрерывная и кусочно-постоянная. Каждому отрезку постоянства числа вращения у соответствует синхронизм порядка p/q с некоторой областью захвата (со, ш) по частоте со собственных колебаний автономной системы.
1П z/3 1 к/5 3/2
Рис. 7.97
Если бы фиксировать частоту со и менять частоту со0 внешнего воздействия, которая была до этого равна единице, то характер зависимости числа вращения Пуанкаре у от со0 будет такой же, как и от со.
6. Стохастический синхронизм [42]. Рассмотрим теперь систему уравнений вида
ф = со + ц \^г + vtf^} + ц2/ (ф, г, т, ц),
Г дН гт дН 1,2/ \
Г = Ц {- + vH—) + ^ (ф. т> м-)-
где со == p/q и функция Н ^ Н (ф, г) периодическая, пе-
риода 2n/q, по ф. После перехода к новой переменной г|з = = ф — сот уравнения (7.110) запишутся в виде
Ф = ^ 14т +vH ж)+ ^г' Т’
1 v J (7.111)
* = ^ {- + vH г’т’ ^
где Н =; Н (^> -f- сот, г). Для исследования этих уравнений
рассмотрим точечное отображение Т2ц плоскости т = 0
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
341
в себя, порождаемое его фазовыми траекториями. Это точечное отображение можно представить в виде
причем после отбрасывания членов с ц,2 оно является точечным отображением Т%я для автономных уравнений
Н (г|), г) = г2 + X sin qty — X (X > 0), (7.114)
тогда при v = 0 разбиение фазовой плоскости на траектории имеет вид, показанный на рис. 7.98.
Изображенные на рис. 7.98 фазовые траектории описываются уравнением
