Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
323
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
3. Численные эксперименты на ЭВМ по изучению притягивающих гомоклинических структур. Статистические закономерности описанных выше блужданий могут быть получены путем численного эксперимента. При этом выяснилось, что с достаточным приближением эти блуждания могут быть описаны марковским процессом. Приведем
Рис. 7.83
некоторые данные численного эксперимента на ЭВМ с притягивающей гомоклинической структурой, изображенной на рис. 7.77, и с m = 3, К = 0,8 и v = 0,9. Блуждание точки при преобразованиях Т записывалось в виде последовательности нулей и единиц. При этом 0 и 1 соответствовали переходы, изображенные на рис. 7.84. Были получены четыре серии по 3240 нулей и единиц в каждой. Ниже в таблице приведены частоты каждого из символов 0 и 1 по каждой из серий. Затем частоты Рис. 7.84 следования символов 0 и 1 после Ои 1 и, наконец, частоты следования символов 0и1 после всевозможных попарных сочетаний 00,01, 10 и 11. Из этой таблицы видно, что приемлемым является уже описание с помощью марковской цепи с двумя состоя-
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
329
Рас. V.od
330
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЙ СИСТЕМЫ
(ГЛ. 7
ниями, 0 и 1. Исследование частот следования символов было продолжено и оставило этот вывод без изменений.
На рис. 7.85 изображена область точек, образованная последовательными преобразованиями отображения Т. Как видно из этого рисунка и уравнений точечного отображения Т, оно аппроксимируется отображением прямой
Таблица частот следования символов
Симвллы пере Серия испытаний
i 2 3 4
0 0,512 0,532 0,524 0,520
1 0,488 0,468 0,476 0,480
0->0 0,530 0,564 0,556 0,560
0 _ 1 0,470 0,435 0,444 0,439
1 ->0 0,493 0,495 0,489 0,477
1 -> 1 0,507 0,505 0,512 0,523
00 0 0,526 0,556 0,544 0,538
00 I 0,474 0,444 0,456 0,462
01 ->0 0,487 0,49!) 0,489 0,492
01 1 0,513 0,501 0,511 0,508
10^.0 0,534 0,575 0,572 0,591
10 -> 1 0,466 0,425 0,428 0,409
11 ---» 0 0,500 0,493 0,488 0,462
И -> 1 0,500 0,507 0,512 0,538
в прямую, причем тем лучше, чем больше пг и меньше vm. Это точечное отображение прямой в прямую вида
!v~xv при | v | V,
при v<^y<^l, (7.98)
— v"4|5m (— v) при — 1 v ^ — V.
При
W = Bin2n ¦ iZ""
соответствующая ему диаграмма изображена на рис. 7.86. Точечное отображение (7.98) численно исследовалось. Основная цель исследования состояла в выяснении его установившихся движений и, в частности, их числа. Применяемый способ исследования состоит в следующем.
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
331
Пусть в ограниченной области G задано некоторое точечное отображение Т. Разобьем область G на области а1г а2, . . ., сг„. Пусть olta2, . . ап — преобразования областей ст1; ст2,. . оп и Р — матрица, элемент ptj которой равен нулю, если пересечение областей 5г- и ст;- пусто, и равен единице в противном случае. Матрице Р можно сопоставить граф с п вершинами Мх, Мг, ¦ ¦ ¦, Мп и направленными ребрами, идущими из вершины Mi в Mj, если Ра ~ !•
Две вершины Ms и М* назовем сообщающимися, если из вершины Mr, двигаясь по ребрам графа в указываемом на них направлении, можно попасть в вершину Ms, а из вершины Ms — в вершину М^.
Назовем концевым классом множество вершин графа, каждые две вершины которого сообщающиеся и из вершин которого нельзя попасть ни в одну вершину, не принадлежащую этому множеству вершин.
Справедливы следующие утверждения. Число различных установившихся движений не менее числа различных концевых классов графа матрицы Р. Это утверждение следует из того, что бласти Gx, . . ., Gm, составленные из областей О;, отвечающих различным концевым классам, отображением Т преобразуются в себя и вся область G после достаточного числа преобразований Т — в объединение областей Gu G2, . . ., Gm, т. е.
TGidGi (i= 1, 2, . . .,m) (7.99)
и существует такое целое число р, что
ТП
TPG(Z\J Gj. (7.100)
j=i
Далее для любых двух различных установившихся движений можно указать настолько малое d 0, что при диаметре областей стг, не большем d, они будут принадлежать различным областям Gj. Это утверждение следует из того, что из принадлежности двух различных установившихся движений одному и тому же множеству Gj следует, что расстояние между ними менее d.
На основе изложенного проводилось численное исследование точечного отображения (7.98) при значениях v, равных 0,7, 0,8 и 0,9 и тп, равных б, 10, 16 и 24. Отрезок [—1,+1], на котором определено точечное отображение (7.98), разбивался на 0,5-103—2-Травных частей. Во всех
332
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
перечисленных случаях было обнаружено, что все вершины графа образуют единственный концевой класс сообщающихся состояний.
