Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.103
348
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 7
ференциальными уравнениями
Из этого факта следует, что динамическая система, определяемая точечным отображением плоскости в плоскость с простейшими установившимися движениями и некратными неподвижными точками, может быть описана диф-
второго порядка тогда и только тогда, когда ее сепаратрисные кривые седловых неподвижных точек не взаимопе-ресекаются. Заметим, что требованию некрат-ности можно всегда удовлетворить, заменяя отображение некоторой его степенью. На рис. 7.105 приведены точечные отображения с простейшими установившимися движениями. У одного из них сепаратрисные инвариантные кривые седловых неподвижных точек не пересекаются, и "оно может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка, причем без периоди-
ческих движений. У второго такие пересечения имеются, и оно уже не может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка.
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
349
Это утверждение, очевидно, обобщается на точечные отображения любой размерности. При этом требование отсутствия взаимных пересечений сепаратрисных инвариантных кривых заменяется требованием непересекаемости всех инвариантных кривых седловых неподвижных точек.
Напомним, что от точечного отображения требуется, чтобы любая его точка при ее преобразовании как в сторону убывания, так и возрастания времени стремилась к одной из конечного числа некратных неподвижных точек.
К сказанному следует сделать одно важное добавление. Выше были сформулированы условия, при которых точечное отображение можно представить как отображение сдвига некоторого дифференциального уравнения. Однако при этом даже для сколь угодно гладкого отображения Т нельзя гарантировать гладкости соответствующих дифференциальных уравнений. Объясняется это тем, что гладкие инвариантные кривые, выходящие из неустойчивых или седловых неподвижных точек, остаются гладкими при их продолжении, но эта гладкость, вообще говоря, неравномерная.
Поэтому приближение гладких инвариантных кривых к устойчивым неподвижным точкам может иметь особенности, не свойственные фазовым кривым состояний равновесия гладких дифференциальных уравнений. Рассмотрим
Рис. 7.106
этот вопрос несколько подробнее. Введем в окрестностях неподвижных точек приспособленные к ним локальные системы координат видов, показанных на рис. 7.106, а для узлов и седел и на рис. 7.106, б для фокусов. Координатные линии этих систем координат гладкие и перехо-
350 Многомерные дйнамйчёскйе сйстёМы (гЛ. 1
дят при преобразовании друг в друга, поэтому точечные отображения в них приобретают вид й = %и, v = vv (| % \ Ф Ф |v |) для узлов и седел и вид й = и + a, v = av для фокусов.
Если пз одной неподвижной точки Ох идет инвариантная кривая у в другую неподвижную точку 02, то существуют в окрестностях точек Ог и 02 точки Мх и М2, преобразующиеся друг в друга после некоторого числа т повторений отображения Т. Пусть е — окрестность точки Мг, частью границы которой являются переходящие друг в друга при отображении Т координатные линии.
Рассмотрим отображение части 7 кривой 7, лежащей в окрестности в, в окрестность точки М2.
Пусть точка 02 узловая и пусть для опреденности 1 к V. Отрезок кривой 7 отобразится в некоторый гладкий отрезок кривой 7 с уравнением v — ф (и) (рис. 7.107). При последующем пг-кратном применении
преобразования Т отрезок кривой у перейдет в отрезок кривой с уравнением и = v"\p (h~mu). При возрастании т, в зависимости от того, однозначна функция ф или многозначна, возможны два разных случая. В первом случае последовательные отображения отрезка 7 составляют гладкую кривую, входящую в точку 02, касающуюся оси v = 0 (рис. 7.108). Напротив, во втором случае получающаяся кривая не имеет предельной касательной. Она имеет вид, показанный на рис. 7.109. При этом вспомогательное отображение Тт многозначное. В первом случае, напротив, это отображение однозначное.
В случае, когда неподвижная точка 02 — фокус, также приходим к двум различным случаям в зависимости
Рис. 7.107
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
351
от однозначности или многозначности вспомогательного отображения Тт. Таким образом, если при преобразовании Тт из локальной системы координат одной неподвижной точки в локальную систему координат другой или той
же самой неподвижной точки вспомогательное отображение Тт многозначное, то у инвариантной кривой появляются особенности, заведомо не свойственные фазовым
кривым достаточно гладких дифференциальных уравнений.
Вернемся к вопросу о переходе обычного синхронизма в стохастический при общем непрерывном изменении параметров. Прежде всего заметим, что для обоих синхронизмов существенной характеристикой является число вращения со.
Рассмотрим отдельно изменения, которые могут происходить при фиксированном со и при изменении со.
Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом qt него отделится либо обычный,
