Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.111
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
353
либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнейшем рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7.110.
На рис. 7.110 изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7.110, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла S\ и S1 и соответственно St и S^. После этого (рис. 7.110, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис St и S% происходит исчезновение устойчивого предельного цикла.
Помимо этих изменений, у обычного синхронизма возможно нарушение гладкости тороидальной интегральной поверхности. У соответствующего точечного отображения при этом нарушается гладкость вхождения сепаратрисных инвариантных кривых седел в узлы. Причина такого изменения была описана выше. Соответствующее изменение синхронизма видно из рис. 7.111.
Рассмотрим теперь бифуркации, происходящие при изменении со. О сложном характере зависимости со от параметров говорилось выше. Каждому рациональному значению со соответствует некоторая область значений параметров. При переходе от одного рационального значения со к другому происходит бесчисленное множество бифуркаций. Границы области постоянного рационального значения со определяются слияниями седел и узлов синхронизма. При слиянии седла с узлом возникает сложная неподвижная точка типа седло-узел. Фрагмент изменений, происходящих со стохастическим синхронизмом, при слиянии седел и узлов и образовании сложных седлоузловых точек, представлены па рис. 7.112.
Для простого синхронизма соответствующие фрагменты разбиения плоскости на инвариантные кривые изображены на рис. 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует случаю, когда слияние седел и узлов происходит у обычного синхронизма с гладким тороидальным интегральным многообразием, а рис. 7.114 — с негладким.
При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После
354
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 1
Рис. 7.112
aP/q
Рис. 7.И5
СИНХРОНИЗАЦИЯ II СТОХАСТИЧНОСТЬ
355
этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Межу любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой нарой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам ctp/q на оси параметра и отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = p/q, где р и q — целые числа.
Между каждой парой интервалов aPl/Ql и OLpjqi имеется бесчисленное множество интервалов ap/q, для которых plq заключено между рх/дх и p2/q2.
Можно думать, что характер бифуркаций стохастического синхронизма при изменении параметров такой же. Вернемся к рис. 7.112, 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует обычному синхронизму, расположенному на гладкой тороидальной поверхности в момент его бифуркаций. При непрерывном изменении параметров существование этой гладкой инвариантной поверхности может нарушиться либо благодаря потере ею устойчивости, либо благодаря разрушению гладкости. Эти бифуркации непосредственно не связаны с теми изменениями, которые рассматриваются, и поэтому, если они не имеют места, то смена синхронизмов происходит, как было описано выше, на сохраняющем свою устойчивость и гладкость^двумерном торе. Стохастический синхронизм в момент бифуркации, изображенной на рис. 7.112, порождает в кольце точечное отображение вида, изображенного на рис. 7.48, и поэтому не может перейти в обычный синхронизм. Это же относится к отображению кольца, частично показанному на рис. 7.114.
35G МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Именно, если к отображению кольца в себя добавить малое вращение кольца, как это показано стрелкой В на рис. 7.116, то придем к точечному отображению вида рис. 7.48. Это отображение будет удовлетворять требуемому существованию области а, указанным образом пересекающейся со своим отображением д. Поэтому дальнейшее изменение рис. 7.114 не может сохранить обычный синхронизм и приводит к его стохастизации.
Как следует из всего сказанного, общий переход от обычного синхронизма к стохастическому может происходить двумя способами. По первому способу переход происходит в результате изменения хода сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек и происходит через их
