Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
эргодическими, хотя при выполнении некоторых резонансных условий
перераспределение энергии возможно. Более того, Форд и Уотерс [4.3]
показали существование нормальных мод у нелинейных систем, если
определить нормальные моды как движение, при котором каждый осциллятор
движется с практически постоянной амплитудой и с заданной частотой. Этот
неожиданный и проясняющий результат стал исходной точкой моих
исследований нелинейных цепочек.
Если система не эргодична, то ее уравнения движения могут иметь
аналитическое решение. Следовательно, можно было надеяться найти какие-то
нелинейные цепочки, пригодные для анализа. Такая система должна была
иметь некоторое отношение к физическим системам, причем решения ее
уравнений движения не должны были быть чрезмерно сложными. Таким образом,
я приступил к поискам поддающейся анализу нелинейной системы и через
некоторое время нашел модельную си? стему, исследование которой оказалось
весьма интересным.
16-1
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
Для меня большая честь и удовольствие описать здесь тот путь размышлений,
который привел меня к изобретению этой системы, и изложить достижения
последнего времени и виды на будущее.
4.1.1. Уравнения движения
Уравнения движения цепочки имеют вид
mYn = - <р' (Yn - Yn_x) + q>' (Yn+l - Yn), (4.1)
где Yn-отклонение n-й частицы, а <р(г)-потенциал взаимодействия ближайших
соседей.
У меня не было никакой определенной стратегии, кроме надежды, что методом
проб и ошибок я могу найти одновременно потенциал и решения.
4.1.2. Преобразования дуальности
Большой удачей было для меня то, что мне приходилось ранее заниматься
теорией гармонических решеток, и я уже нашел преобразование, которое
сопоставляет систему с переменными массами системе с переменными
константами взаимодействия
[4.4]. Это преобразование линеаризует члены взаимодействия в уравнениях
движения нелинейной решетки путем введения нелинейных импульсов.
Роль обобщенных координат в этом преобразовании играют относительные
смещения
гп = Уп - Уп-1, (4.2)
а обобщенные импульсы sn им канонически сопряжены. Канонические уравнения
движения для sn
ттг- ад
предполагаются обратимыми, т. е. позволяют получить
гп = -^-Х(*п) (4.4)
как однозначную функцию от sn = dsn/dt. Тогда (4.1) отвечает уравнение
-ar%(sn) = sn_i - 2sn + sn+l. (4.5)
Поскольку обе формы записи системы, (4.1) и (4.5), эквива-
лентны, это преобразование было названо преобразованием дуальности. В
результате этого преобразования для импульсов получаем
mYn = sn - sn+l. (4.6)
4.2. Экспоненциальное взаимодействие
165
Таким образом, мы имеем
Yn=(Sn-Sa+l)/m, (4.7)
где
t
= J (/) d/. (4.8)
¦Уравнения движения принимают следующий простой вид:
X(S") = S"-i-2S"+'Sn+l. (4.9.)
4.2. Экспоненциальное взаимодействие
Нелинейные нормальные моды (т. е. периодическое поведение нелинейных
систем) настолько поразили меня, что я приступил к поискам нелинейной
решетки, допускающей такие решения. Ключ к этой задаче дали
преобразования Дуальности. Мне помогло то, Что (4.5) можно рассматривать
как рекуррентную формулу для sn, и в конце концов я нашел ответ,
оказавшийся чрезвычайно плодотворным [4.5].
Потенциал, который я выбрал, состоит из экспоненциальной отталкивающей
части А ехр (-Ьт) и притягивающей части аг, где а, Ь, А суть константы,
причем ab > 0 и А > 0. Если выбрать параметр А так, что минимум
потенциала находится при г = 0, то последний принимает йид
Ф(г) = (а/6)ехр(- Ьт) -\-аг -f const. (4.10)
Тогда (4.1) дает уравнения движения
тУ"=а{ехр[-6(У" -У"_,)] -ехр[-6(У"_[ -У")]}, (4.11)
a (4.3) и (4.5) дают
ехр(- Ьгп)- 1 =4-5"'
а + Sn = ~m ^п~' - 2Sn + S"+I^
4.2.1. Кноидальные волны
Периодическое волновое решение (4.13) есть [4.5]
Sti = ^^Lz[2 (-J-Tv/)7C}, (4.14)
где Z(u) есть Z-функция Якобй, определяемая выражением
U
Z (и) -^ dn2" du - (4.15)
и '
(4.12)
(4.13)
166
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
а частота v и длина волны X связаны дисперсионным соотношением
В вышеописанных формулах sn и dn обозначают эллиптические функции Якоби,
К и Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Они имеют
одинаковый модуль k, который определяет амплитуду волны. Из (4.12)
волновой профиль можно найти в виде
ехр (- Ьг.) - I = Щ- [dn> { 2 (-J =F U) К } - -f ]. (4.17)
Поскольку функция dn может быть выражена через сп, периодические волны
можно назвать кнондальными волнами для цепочки, следуя терминологии
Кортевега и де Фриза [4.6], которые получили подобные решения для волн на
мелкой воде.
При постоянном модуле k (4.16) дает полосу частот от v = О для 1Д = 0 до
максимальной частоты vm = д/аЬ/ЫЁК. /2 для волнового числа 1 /Хт = 1/2.
Кноидальные волны (4.11) можно рассматривать как волны в периодической
цепочке. Если эта цепочка состоит из N частиц, мы получаем независимые
волны с волновыми числами
J о -L- -2- {N~l) и 181
X ' N ' N '"> N • (4.18)
Волны с волновыми числами 1/Х = N/N, (N-}-l)/N, ... и с
1/Х =¦ О, 1/N, ... эквивалентны в силу 2/(-периодичности функ-
