Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
так что k - kx - k2 (где &/? = (? - ^)/2) •
Условие нечетности и дает
1 = ( b + Ь ) i ' (3,46)
где для двухкинкового решения yi и уг имеют одинаковый знак и чисто
мнимы. Можно положить
U = ^e~\ (3.47)
а также
'• М(3-48)
учитывая аналогии с Ол-задачей. В этих обозначениях
<3-49>
Уравнения движения (3.34) без учета непрерывного спектра дают
р, = р2-с + 4-
. (3-50)
Ct=-\PI,
где Р = th р sh q, С = sh2 q,
/-W.
a =s cth2 q ch2 p, (3.51)
и % > 0. Обратите внимание на другие знаки по сравнению с уравнениями
(3.36) и (3.38).
Из явного вида параметризации (3.47) вытекает, что оо > > Р > - оо, С >
0, и мы можем, разумеется, взять Р = 0, С = %/А, что отвечает выбору thр
= 0, chq = (1 + %/А). Такой выбор дает решение, не зависящее от времени,
U = 4arctg[(l + -l)1/2sh(l+4-)1/2,], (3.52)
в котором можно узнать стационарный 4л-кинк (3.6) или (3.12) двойного
уравнения sine-Gordon, учитывая, что мы работаем в области -2л < и < 2л.
158
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Если начальные условия выбрать близкими к этому решению, т. е. к/4
(r)С>Р~0, иХ достаточно мало, то / л; -1, и
с*=-гР, Р*=\-с,
(3.53)
поскольку Р2 можно пренебречь. Эта пара уравнений имеет решение
Р = Л cos(^/-y t -fa),
С = Т+Л/Т ^ sin (д/A/-fa),
(3.54)
которое является простым гармоническим колебанием с угловой частотой -
\Jkj2. Ньюэлл [3.34], работая в конусных переменных (т. е. с двойным СГ-
уравнением в форме (3.5)), в числе первых приложений своей теории
возмущений нашел 4л-вобблер с внутренними осцилляциями с периодом -yJk/2
для малых к.
В этих вычислениях снова предполагается, что вкладом непрерывной части
спектра можно пренебречь. Рис. 3.13 изображает результат численного
интегрирования уравнений (3.50). Согласование с прямым численным
интегрированием двойного
Рис. 3.13. Качающийся 4я-кинк, описываемый системой (3.50). Обратите
внимание на отсутствие радиации по сравнению с рис. 3.1.
Примечание при корректуре
169
уравнения sine-Gordon, изображенным на рис. 3.1, почти идеальное; заметно
расхождение за счет испускания излучения на рис. 3.1, а также за счет
небольшого укручения профиля кинков в окрестности тех точек, где два 2л-
кинка меняются местами. Период колебаний точно воспроизводится на рис.
3.13, так что результат здесь отличен от Ол-случая.
Эти результаты показывают, с одной стороны, нетривиаль-ность методов
сингулярной теории возмущений и, с другой стороны, что теория тем не
менее дает отличное согласование с результатами прямого численного
интегрирования, что аналитическая сторона теории возмущений проясняет ряд
существенных моментов, которые не видны при численном интегрировании, и
что вклад непрерывной части спектра бывает существенным (именно так
обстоит дело в случае Ол-задачи). Нужны дальнейшие исследования этого
вклада для обсуждавшихся здесь задач.
Разумеется, приведенные здесь результаты являются лишь первым
продвижением; например, 4л-вобблер должен быть изучен в первую очередь.
Не ясно также, как работать со столкновениями кинков и антикинков для
двойного уравнения sine-Gordon с отрицательным знаком, описанного в разд.
3.3. Насколько нам известно, теория возмущений не применялась к более
сложным случаям, чем это описано здесь. Маклафлин и Скотт [3.53] имели
дело с уравнением sine-Gordon с затуханием; Ньюэлл [3.54] изучал
соотношения между теорией возмущений и уравнениями типа (3.34). Как мы
уже отмечали, в разд. 3.4 даны лишь наброски рассуждений, за
подробностями мы отсылаем читателя к работам Китченсайда [3.32], Мейсона
[3.52] или Ньюэлла [3.34]. Цель, которую мы себе ставили в настоящей
статье, - показать, чего можно достичь при помощи сингулярной теории
возмущений, а также дать некоторое представление о том, что для этого
нужно сделать. В будущем мы предполагаем продолжить эту работу.
Примечание при корректуре
Теорема 10 в [3.30] о том, что нелинейное уравнение Клейна- Гордона Uxt =
F{u) имеет бесконечное семейство полиномиальных законов сохранения, если
и только если F"(u)-\-+ a2F(u) - 0 для некоторого а ф 0, возможно,
доказана с пробелами. Михайлов [3.55] недавно обнаружил в связи с
исследованием обобщенной цепочки Тоды уравнение
utt ~~ ихх + 2 ехр (4и) - 2 ехр (- 2ц) = 0, (3.55)
интегрируемое методом обратной задачи рассеяния для 3X3 линейного
оператора. Система (3.55) оказывается вполне интегрируемой с бесконечным
числом нетривиальных первых интегралов.
160
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Независимо Форди и Гиббонс [3.56] применили метод обратной задачи для N
ХМ линейного оператора к интегрированию нелинейной системы уравнений
Клейна - Гордона Ui,xt = = Fi(u) для N- 1 взаимодействующего поля и ={и\,
..., иы-1) и нашли преобразование Бэклунда для этой системы. Для N - 3
они обнаружили, что система
dxt =е29 - e-0ch Зф, ф*, =е~в sin3 ср (3.56)
является вполне интегрируемой гамильтоновой системой, допускает АПБ и
имеет бесконечное семейство нетривиальных полиномиальных законов
сохранения. Отметим, что решения (3.56) с ф = 0 находятся из уравнения
