Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 71

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 156 >> Следующая

ций sn2 и dn2 в (4.16), (4.17).
4.2.2 Солитоны
Кортевег и де Фриз нашли решения в виде уединенных волн для уравнения,
описывающего волны на мелкой воде. Уединенные волны для нашей цепочки
получаются в пределе k 1 при условии,что
а~~Х~ (4-19)
конечна [4.7]. В этом пределе уравнения (4.17) и (4.16) принимают вид
ехр(- brn)- 1 =-^-р2 sech2 (an =F р/), (4.20)
где
аЬ sha. (4.21)
т
Уравнения (4.20) и (4.21) представляют импульсные волны сжатия при b > 0,
имеющие ширину Л/a, высоту р2 и скорость
4.2. Экспоненциальное взаимодействие
167
с = /ф/а, где h - постоянная цепочки. Чем больше импульс, тем меньше
ширина и больше скорость волны. Численный расчет показал, что импульс
весьма устойчив [4.8]. Устойчивость при взаимодействии уединенных волн
для уравнения КдФ показали численно Забуски и Крускал [4.9]; они же
назвали уединенные устойчивые волны "солитонами". В этом смысле (4.20)
представляет собой решеточный солитон.
Солитон может быть записан как
s" = =F th {an =F р/) (4.22)
или как
= -j- log {1 + /4 ехр [2 (an 3FP/)]}. (4.23)
4.2.3. Гармонический предел
Одно из достоинств рассматриваемой цепочки состоит в том, что и сама
система, и ее точные решения допускают переход как к гармоническому
пределу (Ь0), так и к пределу твердых сфер {Ь-*- оо). То же имеет, место
и для других решений, которые будут приведены в следующих разделах.
Гармоническая цепочка получается в пределе Ь-*~ 0 при конечной константе
взаимодействия х = ab. В пределе Ь -*¦ 0, А->-0 кноидальная волна (4.17)
переходит в синусоидальную волну
г"=" Щг cos 2л ("Г Т v/) ' <4-24)
где ____
v=lV^sin(l)' {4'25)
Этот предел существует лишь при конечном k2/b. В пределе
Ь'-*г 0 мы ожидаем, что ехр(-6г")->-1; тогда из (4.20) мы получаем
вследствие (4.21), что а стремится к нулю. Таким образом, решений типа
уединенных волн в гармоническом пределе нет.
4.2.4. Двухсолитонные решения
Решение с двумя солитонами получится, если предположить,
что
Sn = -j- log -фя, (4'.26)
где [4.10]
= A ch (а" - ОД + В ch (prt - yt). (4.27)
168
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
Здесь А, В, р и у суть функции от а и ц, которые определяются уравнениями
движения. Другой способ - это использовать формулу [4.11]
где /4j, Л2, A3, pi и р2 определяются как функции от а\ и а2 путем
подстановки (4.26) и (4.28) в уравнения движения (4.13). Итак, мы
получаем следующие два случая.
Случай I)
В этом случае два солитона распространяются в одном направлении, один
догоняет другой и проходит сквозь него.
Случай II)
В этом случае солитоны распространяются в противоположных направлениях,
происходит встречное столкновение, и один проходит через другой.
И в том и в другом случае асимптотический вид обоих солитонов дается
формулой
которое имеет следующий смысл.
Солитон - это импульс сжатия с избыточной массой (h - постоянная цепочки)
= 1 + А, ехр [2 {щп - Р|/)] + А2 ехр [2 (щп - р2/)] +
+ А3 ехр [2 (cii + а2) п - 2 (р, + р2) /], (4.28)
(4.29)
(4.30)
ехр(-brn)- 1 = -Ц- р? sech2 {щп - fat +6 f)
(4.31)
для i- 1,2, причем
6i = log Ль б2 =l0g-^-
(4.32)
при t -" оо, и
6+ = log-^-, 62+ = logA2
(4.33)
при t-*~ + оо. В общем мы имеем соотношение
6l -)- б2 = 6i*" -f- ,
(4.34)
п
4.3. Матричный формализм
169
Однако (4.26) и (4.27) дают
-Sn+l-+ 0 (/г->-оо)
0 m , . . (4.36)
-> - 2-?- а (п-"¦ + оо).
Таким образом, мы имеем
м=1га> (4-37)
что выполняется для а = <Х| и аг. Импульс солитона есть
Р = YjmYn = tn(s_00-s00) = ^-p = Mc> (4.38)
П
где с = А|}/а есть скорость.
Поскольку положение двух солитонов при t + оо дается выражением
"Г = (Р^-вП/"*. (4-39)
то центр масс системы находится в
М.пТ+МмТ 1
п, = ^= _____ [(Pi + р2), _ ьТ _ 6?]. (4.40)
Таким образом, соотношение (4.34) показывает, что центр масс двух
солитонов движется по прямой (и с постоянной скоростью) В (X, t)
плоскости.
Показано, что кноидальные волны можно рассматривать как
последовательности солитонов [4.12].
Общие yV-солитонные решения были получены Хиротой [4.13] и Флашкой
[4.15]. Мы вернемся к ним в следующем разделе.
4.3. Матричный формализм
Для краткости запишем уравнения движения (4.11) в безразмерной
канонической форме
Qn = РПу я" = ехр [- (Q" - Q"_i)] - ехр [- (Q"+1 - Q")]. (4.41)
Уравнения движения можно представить в виде [4.14]
L = BL - LB, (4.42)
где L и В - матрицы, определяемые соотношениями
(Lq>)n = Ьпц> (п) + anq> (п - 1) + ап+ ,<р (п + 1),
(Вср)п = a"q> (п - 1) - ап+ & (п + 1). '43'
Уравнения (4.42) дадут (4.41), если выбрать ап и Ьп следую-
щим образом:
а" = 4-ехр [-((?" - Q"_i)/2], bn = jPa. (4.44)
170
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
Можно показать, что собственные значения % оператора L
L<p =¦ Алр (4,45)
не зависят от времени, если ф удовлетворяет уравнению
ф = Дф. (4.46)
4.3.1. Метод обратной задачи
Для бесконечной цепочки [4.15], где движение сосредоточено в конечной
области, можно говорить о рассеянии падающей волны 2-п = ехр(-iknj (k -
волновое число) и о рассеянной волне R(k)zn, так что
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed