Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
- 2я, |х|->-оо. Такое решение и является связанным состоянием кинка и
антикинка: соответствующее электрическое поле имеет нулевую площадь, так
что оптически это Оя-импульс. Естественно ожидать, что это решение
является бризером для двойного уравнения sine-Gordon. Оно, однако,
•) Спектр (1.104) для СГ-уравнения показывает, что энергия образования
кинков и бризеров пропорциональна Yo"1- В результате численного счета
величина Yo ~ Ю5 [3-4, 3.5]. Однако эффективное значение Yo весьма
существенно уменьшено за счет деления на плотность сверхтекучей
компоненты р, (см. примечание на с. 141).
3.4. Теория возмущений для двойного уравнения sine-Gordon
151
является, очевидно, неустойчивым: при Д' > ln(V3 + 2) первый 2я-импульс
ускоряется, а второй замедляется. Потенциал V(u) в формуле (3.17) не
меняется, но состояние ц=2я может уменьшить свою энергию за счет
промежуточного перехода и = 2я-> ->ц = 0-"-ц = 2я и развалиться на кинк и
антикинк; это опять-таки иллюстрирует его неустойчивость. Последний
аргумент, однако, является интуитивным свидетельством в пользу того, что
осцилляции пар кинк - антикинк возможны, как и в настоящем бризере;
результаты численного счета [3.31, 3.32] показывают, что именно так
обстоит дело, если Д' < In (д/3 + 2). На рис. 3.9 изображен режим
опрокидывания. На рис. 3.10 изображен осцилляторный бризероподобный
режим, индуцированный сжатием в интервале 2Д'. В этом разделе мы дадим
набросок сингулярной теории возмущений, подтверждающей такое поведение.
Наше изложение основывается на работах наших коллег А. Мейсона и П.
Китченсайда.
СГ-уравнение вполне интегрируемо: для малых X естественно рассмотреть
член (1 /2) A, sin (u/2) в уравнении (3.1) для случая положительного
знака как возмущение обычного СГ-уравнения. Удобно начать с двухкинкового
решения СГ-уравнения, которое
Рис. 3.9. Численное интегрирование двойного уравнения sine-Gordon с
положительным знаком (и X = 1) для режима распада. Граничные условия
имеюу
рид ц-*-2п, |х| -> оо,
152
3. Двойное уравнение sine-Gordon
может быть переписано с помощью переменных данных рассеяния в виде
где ^ = 1^-)- / = 1,2.
Здесь Yi и у2 - вычеты коэффициента отражения b/а (аналитически
продолженного в верхнюю полуплоскость), вычисленные в комплексных
собственных значениях ?i и ?2 соответственно.
Для СГ-уравнения временная эволюция данных рассеяния весьма проста, и, в
частности, спектр задачи рассеяния является интегралом движения. Однако
для неинтегрируемой системы типа уравнения (3.1) при ненулевых X ситуация
является более сложной. Ньюэлл в гл. 6 (и в работе [3.51]) показал, что
соответствующие уравнения для данных рассеяния решения (3.33) имеют вид')
оо
= \ sin("р? + 4>|);|.dx (/ = 1,2),
* 1 -оо
yi&i X г° и д
Y,,, = /2у,(r)г ~-Г-) sin 7 • № + Фс, dx,
* -00
- оо
1 / 1 \ b.
Y, = ^. (3.34)
где di обозначает производную а по ? в точке ? = ?,-. Выражение ф, 4- Ф2
обозначает значение в точке ? квадрата собственной функции задачи
рассеяния для СГ-уравнения.
Уравнения (3.34) задают простой закон изменения во времени данных
рассеяния, взятых для интегрируемой системы типа СГ-уравнения (случай Х =
0). В таком общем виде они являются точными для всех значений X, как это
вытекает из результатов гл. 6. Но с ними трудно работать. Однако они
') Это не совсем точно. Ньюэлл рассматривает эволюционные уравнения вида
щ = К[и], где К[и] - функционал от и, их, иХх и т. д. СГ-уравнение может
быть записано в таком виде (для зависимой координаты их) в конусных
переменных uxi - sin и. Мы работаем в лоренц-ковариантных координатах, и
задачу следует переписать для этого случая. Подходящим образом
преобразованная задача рассеяния указана Каупом в [3.49].
= 4 arctg
-(
3.4. Теория возмущений для двойного уравнения sine-Gordon
163
Рис. 3.10. То же, что и на рис. 3.9, но для осцилляторного режима.
существенно упрощаются, если выкинуть вклад непрерывной части спектра.
Интуитивно это представляется оправданным, если мы начинаем с решения
(3.33), в которое входят только два дискретных собственных значения, и X
берется достаточно малым. Фактически, как мы покажем дальше, для многих
характеристик движения параметр X может быть большим (как, например, в
физически важном случае X = 1).
Поскольку мы хотим изучать бризер, ассоциированный с (3.13), мы
используем для СГ-уравнения параметры бризера == - ?*, Yi = - yj. Наложим
ограничения
Ci = 4eItp> Yi=tg<pe111'
(ф, ф - новые функции); это ограничение означает, что решение (3.33)
симметрично относительно начала координат в сопутствующей системе.
Полагая ф = агссоэ(Я/4) и 0 = ф- ф = 0 в (3.33), мы получим
и = 4 arctg ( д/j-zrj; ch у У4 - • (3-35)
Это - запись решения (3.13) в сопутствующей системе, причем не
обязательно X = 1. Последующая временная эволюция может быть определена
из (3.34) при предположении, что вкладом от непрерывного спектра можно
пренебречь. Это было сделано Мейсоном в [3.35]. Выкладки оказываются
