Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
весьма громоздкими; читателю, желающему освоить соответствующую технику,
рекомендуем работы [3.32], [3.52]. Предполагая, что задача описывается
двумя дискретными собственными значениями ?/, мы
154
S. Двойное уравнение sine-Gordon
получим точные уравнения в виде
Р< = Р2 -+ С; Р = tg 0 cos ф, С = cos2 ф. (3.36)
Из этих уравнений вытекает, что для начальных условий 0 = 0, 0 < ф <
arccos(X/4), результирующее движение является ос-цилляторным; для ф >
arccos (Х/4) ф в конце концов достигает значения л/2 [3.32, 3.35, 3.36].
При этом решение представляет собой пару из быстро расходящихся кинка и
антикинка. В этом случае бризерные формулы уже не годятся, и надо
повторить вычисления с использованием параметров кинков. Подходящая
параметризация в этом случае выглядит так:
То, что уравнения движения (3.38) имеют такой же вид, как и уравнения
(3.36) при соответствующей параметризации, позволяет гладко сшивать
решения при переходе через режим распада.
Уравнения (3.36), (3.38) были проинтегрированы численно для начальных
условий
где е = ±0.1 и К = 1.0. Для е = -0.1 движение оказывается осцилляторным
(см. рис. 3.11).
Для е = 0.1 возникает распад (рис. 3.12), так что требуется изменить
параметризацию, когда С становится отрицательным. Сравнение рис. 3.12 с
рис. 3.9 показывает, что имеется хорошее согласование для случая распада
в приближении, где отсутствует непрерывный спектр. Эти рисунки точно
накладываются друг на друга для моментов времени, изображенных на рис.
3.12. Однако ошибки округления приводят к тому, что использованная
параметризация делается непригодной из-за асимптотических свойств
гиперболических функций в формулах
(3.38); это является причиной того, что рис. 3.12 не продолжен дальше по
времени.
(3.37)
уравнения движения имеют вид
P, = p2 + C--L; P = cthp • sh<7, C = -sh2<7;
(3.38)
C'=T pLWr"' a ~ cth2Q sh2P-
0 = 0, соз2ф = уЯ(1 - e)-1,
(3.39)
3.4. Теория возмущений для двойного уравнения sine-Gordon 155
Для осцилляторного режима согласование почти идеальное, пока и не
достигла максимума амплитуды. После этого, как видно на рис. 3.10,
начинает излучаться небольшая периодическая рябь; это проявление
перекачки энергии в непрерывную составляющую. В результате укорачивается
период бризеропо-добных осцилляций на рис. 3.10 по сравнению с тем,
который получен по теории возмущений и изображен на рис. 3.11. Мы не
нашли пока метода, позволяющего учитывать вклад непрерывной составляющей
с такой же простотой, которой отличаются уравнения (3.36), (3.38); эта
ситуация характерна для нынешней стадии исследований, основанных на
теории возмущений. Стоит отметить, что во всех других отношениях
согласование между теорией и непосредственным численным интегрированием
почти идеальное даже для большого значения ^-1.
Можно использовать и еще один аналитический подход. Например, для случая
распада численное интегрирование показывает, что величина Y = С -}- Р2
быстро стремится к нулю. Это позволяет легко найти асимптотическое
решение, описывающее поведение далеко отстоящих друг от друга кинка и
антикинка.
Рис. 3.11. Осцилляторный режим, описываемый уравнениями (3.36).
Рис. 3.12. Распад, описываемый уравнениями (3.36) и (3.38).
156
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Уравнение (3.38) для Pt дает
ОО
Р = ^ Ydt-^-/==Z-?-/; (3.40)
о
пренебрегая членами второго порядка по У, получаем приближенное уравнение
(i + Р2)-^-1пУ-^-Р1пУ = 2Р[1 +Р2 +4-(ln2 VT+Я5- 1)].
(3.41)
Используя выражение (3.40), можно явно решить уравнение
(3.41) в виде
(in 2 У1 +Р2-у1пУ)/лЛ +Р2 =
-[(1)+(t-0T-v. (з-")
где у - константа интегрирования. Следуя работе А. Мейсона, которому мы
обязаны приводимыми здесь рассуждениями, мы записываем решение в такой,
казалось бы, неудобной форме, поскольку левая часть дает положение центра
кинка, определяемое из уравнения
4 arctg f Ch * Y ^ = я- (3-43)
V д/ с + Р2 /
Можно сравнить движение кинка с движением релятивистской частицы,
приобретающей постоянную энергию при прохождении отрезка единичной длины.
Движение такой частицы описывается уравнением
tfio(l - v2)~l/2 = еХ + у,
которое легко решается в виде
[ 2 -11/2
_f + (l_/s)2J у (3.44)
в полном соответствии с (3.42).
Движение, описываемое уравнением (3.42), есть, разумеется, движение
одного 2я-кинка, входящего в среду, находящуюся в состоянии и = 0, и
замедляющегося по мере того, как он оставляет за собой шлейф возбуждений,
как это изображено на рис. 3.2. Другими словами, это движение первого из
очень сильно разнесенных один относительно другого 2я-кинков в 4я-
вобблере.
Аналогичные вычисления можно проделать для решения типа 4л-вобблера
уравнения (3.1). Удобно сделатьзамену и->и - 2л;
3.4. Теория возмущений для двойного уравнения sine-Gordon 157
это изменит знак у Я, в (3.1). В системе центра масс для столкновения
двух кинков и тогда будет нечетной функцией от х.
В системе центра масс равенство нулю полного импульса дает
=-т • где &=ir]i ^ > °)' (3-45)
