Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Удобно ввести операторы Z4, ?4 и различные их произведения:
DtDxf • g=(jj} -37т) (-gj -¦ зр-) f(x, t)g(x , О !*_*-, t=t,. (5.13)
С помощью этих обозначений (5.11) и (5.12) записываются как (Dt+3XDx +
Dl)G-F = 0, (5.14)
(Dl + X)F-F-DxG-F= 0. (5.15)
Заметим, что (5.14) и (5.15) инвариантны относительно преобразований F и
G, которые не изменяют w - G/F. Пусть F = hF' и G=hG', тогда (5.14) и
(5.15) преобразуются к виду [см. ниже (VI.3)]
{Dt + SX'Dx + D3x)G'¦ F' = 0, (5.16)
(??х + X') F'• F'- DXG'• F'= 0, (5.17)
где
X' = X + (D2xh- h)/h2. (5.18)
Запишем (5.15) в виде
X=(G/F)x-2(\nF)xx, (5.19)
который показывает, что асимптотическое значение X определяется граничным
значением для и =(G/F)X и асимптотикой F при |*|=оо. В последующем
положим Я равным нулю.
Для Я = О найдем, что
G = 2FX (5.20)
является решением (5.19). Следовательно, имеем
ы = 2(ln F)xx. (5.21)
Подставляя (5.20) в (5.14), получим
(Dt + D3X)FX-F = 0, (5.22)
что равносильно [см. ниже (III. 1)]
Dx(Dt+D3x)F-F = 0. (5.23)
178
5. Прямь^е методы в теории солитонов
5.2. Свойства D-оператора
В этом разделе перечислены некоторые свойства операторов Dt, Dx,
введенных в предыдущем разделе. Имеем
DtDxa-b = {j^ - -щг} (-57 - -gp-) a(t, x)b(t', x')\t=t, XaX,. Полезно
ввести оператор Dz и дифференцирование d/dz, полагая
fl.-0D,+*D" -i-b-k + b-k-
где б и е - постоянные. Из определения очевидны следующие свойства:
(I) D?a- 1-(?)%,
(II) Dza-b={-l)mDzb-a,
(II. 1) D?a-a = 0 для нечетных пг,
(III) Dza b = Dz~l{az-b~a- bz),
(III. 1) Dfa • a = 2D(tm)~laz - а - для четных т,
(III. 2) DxDta • а = 2Dxat ¦ а = 2Dtax • а,
(IV) Dx ехр{pix)ехр(р2х) ={рх - р2)техр [(/>, + р2)х]. Пусть F{Dt, Dx)
есть полином От Dt и Dx, тогда
(IV. 1) F (Dt, Dx) ехр (й[/ + р,х) • ехр (й2/ + р2х) -
= F (Qj Q2, Р\ p2)lF (Qj -Ь Q2, Pi р2) X X F (Dt, Dx) ехр [(Q, + Q2) / 4-
(р, + р2) х] -1,
(V) ехр(е?>*)а(х) ¦ Ь(х) ~ а{х + г)Ь(х - е),
(VI) ехр(еП2)аб ¦ cd - [ехр(еП2)а - с] X
. X [ехр (eZ)2) b • d\ = [ехр (е?)2) а ¦ d] [ехр (eZ)2) b ¦ с],
(VI. 1) Dzab ¦ c = {^f)bc + a(Dzb ¦ с),
(VI. 2) Dlab ¦ с = (g-) be + 2 (g) Dzb-с+ a (D2zb ¦ c),
(VI. 3) Dlac ¦ be = (Dh • b) c2 + 3 (D*a • b) D2zc ¦ c,
(VI. 4) Dx exp(px)a ¦ exp(px)b =exp(2px) • b,
(VII) exp (6Dt) [exp (eDx) a ¦ b] ¦ [exp (eDx) c • d] =
= exp (eDx) [exp (6Dt) a - c] • [exp (6Dt)b ¦ d] =
= [exp (6Dt + eDx) a • d][exp (-bDt + eDx) с ¦ b\.
Следующие формулы полезны для преобразования нелинейных дифференциальных
уравнений к билинейному виду.
5.2. Свойства D-операторй
179
(VIII) exP(e4\
(VIII. 1) Mi)-
(VIII. 2) 32 dz2 \b )
(VIII. 3) 53 (° )-dz3 \ b J
(IX) 2ch{e~k
(IX. 1) dz2 ln f
(IX. 2) dz* lnf
Dza • b
P
Dla-b
b2
Dla-b
b2
(a} D\a ¦ b
I T)~T2 '
J Dza-b D\b ¦ b "|
6 L ь2 ь2 J '
D2J-f 2{2 '
Dtf-f r "2
m
212 u L 2f
Формулы, приведенные ниже, полезны для преобразования билинейных
дифференциальных уравнении обратно к первоначальным нелинейным
дифференциальным уравнениям.
(X) ехр (eDx)а ¦ 6={ ехр[2ch (еyj) In б] ] [ехр (е-^) (|-)].
Пусть ф = а/b, и = 2(In b)хх, тогда (X. 1) {Dxa-bW=^x,
(X. 2) (Dla-b)/b2 = qxx + "Ф,
(Х.З) №-6)/62 = фххх + з"фх,
(X. 4) (D'xa . Ь)/Ь2 = Фхххх + 6"фхх + ("хх + 3"2) ф.
(XI) ехр (eDx)a ¦ b =exp[sh In у + ch (e-^~)ln(a6)].
Пусть ф = In (a/b) и р = In (ab), тогда
(XI. 1) (Dxa-b)fab=<px,
(XI. 2) (D2xa ¦ b)/ab = рхх -f (фх)2,
(XI. 3) (Dla • b)/ab = Фххх + 3Фхрхх + (фх)з,
(XI. 4) (D*xa-b)/ab=Рххх*+4фхфххх+3 (рхх)2+,6 (фх)2Рхх+(фх)4-
Все эти свойства Проверяются просто, поэтому мы проверим только (X). Мы
имеем
2ch (e-Jy) In b = ln b (x -f e) -f In b (x - e),
exp (e (t) = a (x + еУь + e)'
180
5. Прямые методы в теории солитонов
и из (V)
ехр (eD*) а • b - а {х + е) b (х - е);
следовательно,
ехр (bDx) а • b - ехр [2 ch (е In б] [ехр (е ,
что доказывает (X). Соотношения (X. 1) - (X. 4) получены разложением (X)
в степенной ряд по е и приравниванием членов с одинаковыми степенями е.
Другие свойства D-оператора описаны в другой работе автора [5.5].
5.3. Решения билинейных дифференциальных уравнений
Будем решать (5.23), разлагая F в степенной ряд по параметру [5.6]
F = l + ef, + e2f2+ ... . (5.24)
Подставляя (5.24) в (5.23) и объединяя члены с одинаковыми степенями е,
получим
3(3 ' 33 )Л = 0, (5.25)
)h = -Dx(Dt + Dl)frfl, (5.26)
.аН 1 дх3
д 1 д3
.dt 1 дх3
'3Н ь 3V
И т.д.
Можно получить два типа решений: 1) полиномиальное решение и 2)
экспоненциальное решение.
Для случая 1) найдем,что
f i = а0 + ахх + а2х2 + а3х3 + а4х4 + Ы - 24 а4/х (5.28)
является решением (5.25). Подставляя (5.28) в (5.26), найдем, что правая
часть в (5.26) обращается в нуль, и, стало быть, /г может быть выбрана
равной нулю, если
а4 = 0, За,а3 = а2 и Ь = \2аг
Следовательно, мы получили точное решение (5.23)
F = 1 + е [оо + ахх + (За1а3)1/2 х2 + а3 (х3 + 12/)]. (5.29)
Если мы наложим на и граничные условия
и = 0 при х = 0, (5.30)
5.3. Решения билинейных дифференциальных уравнений
181
то найдем, что а\ =0 и, полагая е равным единице, получим
