Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
классичесой механики можно ожидать, что квантование волн в нелинейных
решетках прояснит их связь с решеточными фононами.
ЛИТЕРАТУРА
4.1. Fermi Е., Pasta J., Ulam S. - Collected Papers of ENRICO FERMI, Vol.
II (University of Chicago Press, 1965), p. 978.
4.2. Ford J. - J. Math. Phys. 2, 387 (1961).
4.3. Ford J., Waters J. - J. Math. Phys. 4, 1293 (1963).
4.4. Toda M. - J. Phys. Soc. Jpn. 20, 2095 (1965); Progr. Theor. Phys.
Suppl. 36, 113 (1966).
4.5. Toda M. - J. Phys. Soc. Jpn. 22, 431 (1967).
4.6. Korteweg D. J., De Vries G. - Philos. Mag. 18, 35 (1895).
4.7. Toda M.-J. Phys. Soc. Jpn. 23, 501 (1967).
4.8. Saito N. - Progr. Theor. Phys. Suppl. 45, 201 (1970).
4.9. Zabusky N. J., Kruskal M. D. - Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).
4.10. Toda M. - Intern. Conf. Statistical Mech. Kyoto (1968); J.
Phys. Soc.
Jpn. Suppl. 26, 235 (1969).
4.11. Toda М., Wadati M. -J. Phys. Soc. Jpn. 34, 18 (1973).
4.12. Toda М. -Progr. Theor. Phys. Suppl. 45, 174 (1970).
4.13. Hirota R. - J. Phys. Soc. Jpn 35, 286 (1973).
4.14. Flaschka H. - Phys. Rev. B9, 1924 (1974).
4.15. Flaschka H.- Progr. Theor. Phys. 51, 703 (1974).
4.16. Toda М. -Phys. Rep. 18C, 1 (1975).
4.17. Toda M" Wadati M. - J. Phys. Soc. Jpn. 39, 1204 (1975).
4.18. Wadati М., Toda M. - J. Phys. Soc. Jpn. 39, 1196 (1975).
4.19. Chen H., Liu C. -J. Math. Phys. 16, 1428 (1975).
4.20. Toda M. - Progr. Theor. Phys. Suppl. 59, 1 (1976); Intern. Symp. on
Mathematical Problems in Theoretical Physics, ed. by H. Araki, Lecture
Notes in Physics, Vol. 39 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975),
p. 387.
4.21. Wahlquist H. D., Estabrook F. B. - Phys. Rev. Lett. 31, 1386
(1973).
4.22. Kac М., Van Moerbeke P. - J. Math. Phys. 72, 2879 (1974).
4.23. Date E., Tanaka S.- Progr. Theor. Phys. 55, 457 (1976).
4.24. Toda M. - Phys. Scr. 20, 424 (1979).
5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СОЛИТОНОВ
Р. Хирота
Главная цель этой главы представить прямой и последовательный метод
нахождения точных решений и преобразований Бэклунда для определенного
класса нелинейных уравнений эволюции. Заменой зависимых переменных
нелинейные уравнения эволюции преобразуются в билинейные дифференциальные
уравнения специального вида
которые мы решаем точно, используя подход теории возмущений.
В этой статье рассмотрены следующие примеры: уравнение Кортевега - де
Фриза (КдФ), уравнения КдФ более высокого порядка, модельные уравнения
для волн на мелкой воде, уравнение Буссинеска, уравнения цепочки Тоды,
цепочка Тоды в дискретном времени и др.
5.1. Предварительные замечания
Для того чтобы проиллюстрировать указанный метод, мы рассмотрим уравнения
КдФ [5.1, 5.2]
с граничным условием и - 0 при [ а* | = оо. Здесь индексы t, х обозначают
частные производные.
Решим (5.1), используя обычный метод возмущений. Пусть и - wx', тогда,
интегрируя (5.1) по х, получим
где постоянная интегрирования выбрана равной нулю. Разложим w в степенной
ряд по малому параметру е:
Подставим (5.3) в (5.2) и, собирая члены с одинаковыми степенями е,
получим
F(
_д д_ _д д_
д( dt' ' дх дх'
)f(*. х')\
(5.1)
w, + 3 < + wxxx = О,
(5.2)
w = еи>1 + e2w2 +
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
176
5. Прямые методы в теории солитонов
и т. д. Разрешив эти уравнения, мы получим формальное решение в виде ряда
теории возмущений. Трудность, с которой мы сталкиваемся на этом пути,
заключается в том, что ряд теории возмущений не сходится быстро и даже
расходится.
Недавно была разработана мощная техника суммирования, получившая название
аппроксимации Паде [5.3]. [N/M] Паде-аппроксимантой функции /(е)
называется отношение двух полиномов, числитель которого степени N, а
знаменатель степени М. Аппроксимация Паде применялась в различных
разделах физики как систематический метод получения большей информации из
разложений в степенные ряды [5.4].
Рассмотрим Паде-аппроксиманту для w(e). Хотя мы можем построить Паде-
аппроксиманту для ш>(е) прямо из степенного ряда решения (5.3),
значительно интересней преобразовать первоначальное уравнение к
специальному виду, удобному для использования Паде-аппроксиманты. Для
этого заменим w на G/F и найдем уравнения, которым удовлетворяют F и G.
Тогда степенные ряды решений для F и С дадут Паде-аппроксиманту для w.
Подставляя w = G/F в (5.2), получим уравнение
которое, очевидно, имеет более сложный вид, чем первоначальное уравнение
для w. Теперь в одном уравнении содержатся две зависимые переменные: F и
G. Но, замечая, что (5.7) может быть переписано как
[GtF - GFt + ЗЛ (GXF - GFX) + GXXXF -- 3GXXFX + 3GXFXX - GFXXX]/F" +
+ 3 (GXF - GFX)[GXF -GFx- 2 {FFxx - F2X) - Xf2]/f4 = 0, (5.8)
расцепим (5.7), введя произвольную функцию Л. Мы получим два уравнения
(GtF - GFt)/F2 + 3 (GXF - GFJ/F4 +
+ (GXXXF - 3GXXFX - 3GXFXX - GFXXX)/F2 + + 6 {FGXF\ + FGFXFXX - GFl)/F4 =
0,
(5.7)
[
дх' У ]g (x, I) F (x , t ) |x=x-, -0,
(5.11)
5.1. Предварительные эамёчания
177
и
[Ыг-J7- У + 4F <*• Of <*'. I) I,.,- -
- (-SF_aiH с(д:'O.I,."- = 0. (5.12)
