Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
случае уравнения (3.25), (3.26) должны решаться как операторные. Спектр
уравнения (3.25) найден Лютером в гл. 12; он упоминался в гл. 1 в связи с
выражением (1.104). Для квантового двойного уравнения sine-Gordon с любым
знаком в (3.1) даже не найден спектр, хотя известно, что его S-матрица
разложима [3.46]1).
*) Квантование спиновых волн могло бы привести к интересным следствиям.
Нами вычислена величина уо ~ Ю5 [3.4, 3.5]. В A-фазе для СГ-уравнения (и,
возможно, в В-фазе для двойного уравнения sine-Gordon) столь большое
значение величины уо разрушает бризерный спектр. Этот результат следует
из (1.105), поскольку количество квантовых бризеров N <С 1 для больших
значений уо (наблюдаемое перенормированное значение у0 заменяет уо в
(1.105)]. Несмотря на очень низкие температуры, при которых существуют
эти элементарные спиновые возмущения, наш вывод тем не менее состоит в
том, что спиновые волны не квантованы. Это согласуется с тем, что
параметр порядка является с-числом [3.4, 3.5], с большим радиусом
корреляций с обсуждающимся ниже эффектом "звона", который наблюдали Уитли
[3.17], а также с соображением, которое мы обсудим ниже, что сам "звон"
может в сильной степени зависеть от бризеров [3.48]. Отметим, что во
всяком случае гамильтониан (3.19) должен быть умножен на pSl плотность
сверхтекучей компоненты на единицу длины (т. е. PjQjc-1). В частности,
если на это
142
3. Двойное уравнение sine-Gordort
Уравнение (3.26) для с-чисел имеет плотность гамильтониана
Минимумы дипольного взаимодействия имеются при и ~ 6 = = 2arccos(-1/4) и
при 4л - 6. Имеются два решения-кинка постоянной формы, а именно (3.14),
(3.15). Помня о лоренц-ковариантности уравнения (3.26) в переменных х, t,
мы можем переписать эти решения в другом виде:
Первое из решений является (4л - 26)-кинком, расположенным между
минимумами б и 4л - б дипольной энергии; второе - это 2б-кинк,
расположенный между -б и +6.
Эти два кинка могут лишь отскочить друг от друга при столкновении: они не
могут пройти один через другой подобно солитонам, поскольку 26 ф 4л - 26.
Графики производных этих кинков при соударениях (т. е. <? в (3.14),
(3.15)) приведены, например, в [3.3], [3.4], [3.14], [3.31]. Аналогичные
результаты для тройного уравнения sine-Gordon имеются в [3.14],
Эти два кинка имеют энергии покоя и эффективные массы покоя, а именно
5.1097 у0_| единиц для 4л - 26 и 11.3929 у~' единиц для 26. Когда
сталкивается 26-пара кинк - антикинк, они могут проходить друг через
друга, сохраняя г. у. и-в-б, |х|-"- оо, что приводит к образованию -(4л -
26)-пары антикинк- кинк. Численные расчеты [3.4, 3.5, 3.8, 3.33, 3.47]
показывают, что именно так обстоит дело для любых взаимных скоростей v в
системе центра масс. Во всех случаях имеется добавочное излучение,
испускаемое после столкновения.
Когда сталкивается (4л - 26)-пара кинк -антикинк, появляются два
усложнения: хотя г. у. и-"-6, |х|-"-оо согласуется и с (4л - 26)-парой
кинк - антикинк, и с (4л - 26)-парой анти-
число умножить плотность гамильтониана (3.28), то получится интуитивно
верный результат, поскольку уо будет делиться на этот множитель. Неясно,
однако (для нас), какое значение следует взять для psQ;C-1 в одномерном
случае. Также неясно, приведет ли этот коэффициент при плотности
гамильтониана к самосогласованной одномерной теории.
По поводу нахождения спектра квантового СГ-уравнения см. гл. 12 этой
книги, а также цитированную там литературу, работы [1.42, с. 114-117],
[3.13] или более раннюю работу Фаддеева [1.41], а также [1.40]. См. также
обзор Фаддеева и Корепина .[1.218], недавнюю работу Фаддеева,
цитированную в гл. 12, и [1.221].
Ш (х) = Yo-' [~ и* + ± и] + 2 (cos 1.и +1)2] • (3.28)
(3.29)
[3.37].
3.3. Спиновые волны в жидком 8Не
143
кинк - кинк, имеется пороговое значение У = 0.8938, ниже которого энергия
(4л - 26)-пары недостаточна для создания массы покоя 26-пары, и в этом
случае (4л - 26)-пара неупруго соударяется, а из-за потерь на излучение
реальная величина порога возрастает до V = 0.925 [3.4, 3.33]. Имеется
также нижний порог порядка V = 0.36 [3.33, 3.48]. Здесь сближающиеся (4л
- 26)-пары теряют мало энергии на излучение и образуют долгоживущее
бризероподобное связанное состояние. На рис. 3.5 показаны кинк и
антикинк, каждый с V = 0, превращающиеся в такое бризероподобное
состояние под действием взаимного притяжения. На рис. 3.6 изображено
поведение для V = 0.36.
Представляется возможным, что эти возникшие бризеры могут быть приведены
в движение пространственно-однородным гармоническим продольным полем.
Если заменить В0 в (3.19) на Во + В\ cos t, то уравнение (3.26) примет
вид
ихх - utt = - (sin и +y sin у и) - \<nQr2Bi sin (fflQf1/). (3.30)
В соответствующем A-фазе случае СГ-уравнения при наличии затухания,
рассматривая уравнения как уравнения для с-чисел, Кауп и Ньюэлл [3.49]
показали при помощи сингулярной теории возмущений, что бризеры СГ-
уравнения синхронизированы по фазе на частоте со в промежутке ниже ЯМР-
