Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 58

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 156 >> Следующая

находящихся в положении равновесия. Отметим, что плотность гамильтониана
для уравнения (3.8) имеет вид
M = ±u? + ±ul+V(u),
V (и) = (2 - cosu - cos у ы). (3.17)
V(u) имеет глубокие минимумы при и = 0 и и = 4я (где F(") = 0) и более
мелкий минимум при ы = 2я (где V(u)=2). Вероятно, полезно рассмотреть
возмущенное осциллирующее решение как кинк, вставленный между двумя
глубокими минимумами и способный к осцилляциям, ассоциированным с более
мелким минимумом [3.35]. Такой кинк обязательно устойчивый, поскольку он
стабилизируется топологически из-за скачка в 4л1).
Из проделанного анализа вытекает вывод, что и для малых, и для больших
изменений А 4я-кинки (3.12) имеют внутренние осцилляции, которые могут
быть приближенно интерпретированы как осцилляции связанной пары 2я-кинков
для СГ-урав-нения. Численное интегрирование уравнения (3.9) полностью
подтверждает эти выводы [3.2, 3.4, 3.31]. На рис. 3.1 изображено
поведение одного 4я-кинка с А, слегка отличным от
') Введение в топологические солитоны для неспециалистов см. в [3.88].
Следует предостеречь читателя, что только s-G-солитоны, рассматриваемые
там, являются солитонами в том смысле этого слова, как оно используется в
настоящей книге.
134
3. Двойное уравнение sine-Gordon
ln(V5+ 2). Мы построили график этого кинка (т. е. и), чтобы можно было
увидеть наличие излучения у изгибов этого "вобблера". А на рис. 3.2 мы
изобразили электрическое поле <S и столкновение двух оптических 4я-
импульсов, каждый из которых первоначально находился в равновесии (A =
ln(V5 + 2).
Рис. 3.1. Один "качающийся" 4я-кинк двойного уравнения sine-Gordon с
положительным знаком (и к = 1). Обратите внимание на излучение, особенно
в местах встречи 2я-кинков.
Может показаться, что рис. 3.2 хорошо иллюстрирует основное свойство
столкновения солитонов, описанное в гл. 1; однако рассмотрение
подробностей обнаруживает, что после столкновения испускается некоторое
излучение, и, с нашей теперешней точки зрения, это существенно1).
Осталось увидеть такое поведение в лаборатории. По счастью, среди
переходов Di 2Si/2->-2Pi/2 в парах натрия (очень удобных для исследования
по СИП [3.39]) есть переход F = = 2->-Р/ = 2 между сверхтонкими уровнями.
Имеются дополнительные переходы: низший уровень 2Si/2(P=1) отстоит на
') К сожалению, все численные результаты даже для интегрируемых систем
типавГ -уравнения обнаруживают наличие излучения. Проблема в том, чтобы
определить его значимость (см. [3.28]).
3.2. Теория вырожденной СИП 188
1772 МГц от F = 2, и этот интервал между уровнями хорошо высвечивается
импульсом в 5 не. Верхний уровень 2P\/i{F' = 2) отстоит от состояния F' =
1 только на 192 МГц, и такой интервал находится на пределе разрешения
импульсом в 5 не. На первый взгляд при наличии разрешения задача имеет
Q(2)-симметрию, а в противном случае имеется трехуровневая атом1
Рис. 3.2. Столкновение .isyx 4я-кинков двойного уравнения sine-Gordon,
каждый из которых перед столкновением находился в состоянии равновесия
(без "качаний"). Изображено электрическое поле (производная и).
ная система с двойным нижним уровнем F = 2. Однако допле-ровский эффект
порядка 1700 МГц, возникающий из-за движения атомов, означает, что оба
перехода F - 2-+F' = 2 и F = = 2 -+F' = 1 попадают в точный резонанс с
двумя различными группами атомов. Таким образом, с одной стороны, оба
перехода являются возбужденными, а с другой - каждому переходу можно
приписать свой спин. В результате получаются переходы
С тремя различными матричными элементами р, ~р, У3/2р
и весами 3, 2 и 2. Уравнение движения вместо уравнения (3.9) является
тройным СГ-уравнением
иц - мтт = 3 sin а + sin -j и + Уз sin УЗ/2и. (3.18)
Уравнение (3.18) интересно тем, что его нелинейный член непериодичен. Его
нули расположены в 1.1л, 2.2л, 3.0л, 4.2л, ...
136
S. Двойное уравнение sine-Gordon
..., 7.8л, .... Его траектория на фазовой плоскости с началом в точке и =
0 показана на рис. 3.3. Следует обратить внимание на чередование высоких
и низких минимумов в каждом втором нуле. Справедлива теорема площадей
типа (3.16а), где в правой части теперь стоит ± "[3 sin0 + sin -^-0 + УЗ
sin д/3/20]. Площади 4.2я и 7.8я, отвечающие глубоким минимумам на
Рис. 3.3. (а) Траектория уравнения (3.18) на фазовой плоскости, выходящая
из и = 0, отвечающая переходу Na Di(.F = 2-*- F' = 1,2); (b)
соответствующая траектория для перехода Na Di(.F = ' 1 -*-F'= 1,2).
рис. 3.3, не только устойчивы согласно теореме площадей, но и отдают
меньше всего энергии на возбуждение атомов: результаты численного счета
[3.31] показывают, например, что 6.2л-импульс отдает импульс площади 2я
на границе среды и что остающийся импульс превращается в 4.2я-вобблер с
двумя горбами. В эксперименте, описанном в [3.10], такой вобблер
наблюдался.
Эксперимент состоял в том, что плосковолновой импульс1) с площадью
примерно 4я, длительностью 5 не, интенсивностью
¦) Все импульсы имеют конечную поперечную апертуру, и в принципе возможны
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed