Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 56

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 156 >> Следующая

имеется 5 возможных переходов при одной и той же резонансной частоте,
нумеруемых значениями MF= ±2, ±1, 0. Имеется, стало быть, 5-
псевдоспиновое описание каждого атома, где атомы верхнего уровня
нумеруются спином вверх, а нижнего - спином вниз [3.14, 3.31]. Но, как мы
отмечали в разд. 3.1, только два значения модулей матричных элементов
существенны, р и р/2. Соответственно
5-псевдоспиновая задача может быть сведена к 2-псевдоспино-вой задаче с
этими матричными элементами [3.31]. Легко видеть (см. [3.1], [3.2],
[3.14]), что для каждого из этих атом-
3.2. Теория вырожденной СИП
129
ных псевдоспинов имеются уравнения Блоха (односпиновые уравнения Блоха в
теории невырожденной СИП выведены в гл. 2). Подобно тому как в
невырожденном случае огибающая 8 электрического поля определяет парное
взаимодействие спинов различных атомов, здесь она задает также
взаимодействие двух псевдоспинов каждого вырожденного атома, причем
других взаимодействий нет (учитывается лишь поперечная составляющая
поля). Эта огибающая 8 электрического поля (масштаб времени с<Ю-9 с)
является модуляцией гармонической несущей частоты, находящейся в точном
резонансе с частотой атомных оптических переходов. В работах [3.13],
[3.16] мы обозначали эту частоту через cos (здесь мы этот символ
использовать не будем); ftcos, таким образом, есть интервал по энергии
между двумя резонансными, но вырожденными атомными уровнями, если такая
величина потребовалась бы1).
В общие уравнения Блоха входят следующие величины: число атомных инверсий
N, компонента огибающей атомного дипольного момента Q, находящаяся в фазе
с огибающей электрического поля 8, и огибающая Р дипольного момента со
сдвигом фазы на я/2.
При точном резонансе в случае строго резонансных пиков величина Q
является константой, которая должна быть нулем для начально
невозбужденной среды (ср., например, [3.16]). Уравнения движения для
вырожденного случая содержат, следовательно, только величины Р(1>, N<-'\
t = 1, 2. Эти уравнения имеют вид (см. [3.1], [3.2], [3.5], [3.13] -
[3.16], ср.также гл.2)
Р'Р = - xmN(i)8;
= хЦ)Р{1)8\ х(0 =1,4-5 /=1,2 (3.7)
с8х-\- 8t - a (/W + у ^(2>)
в подходящих единицах. В этих единицах (см. [3.13] - [3.16]) константа
взаимодействия а имеет размерность квадрата частоты, а V(r) играет заметную
роль в теории квантованного СГ-уравнения, основанной на (3.7) [3.4, 3.5,
3.13]. Беря подходящую линейную комбинацию векторов состояний атомов,
получим, что и уравнения движения для схемы многоуровневых атомов могут
быть представлены в виде (3.7); новым будет лишь то, что i = l, 2, ...,
N, вместо х(,) появятся простые рациональные дроби, а диполи Р(,) войдут
с весами сУ'* в уравнения Максвелла для 8 и Р^\ Некоторые примеры указаны
в [3.31]. Трехспиновая задача с весами обсуждается ниже перед уравнением
(3.17).
') Й = й/2я (нормированная постоянная Планка).
130
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Уравнения (3.7) сводятся к уравнению (3.1) (с положительным знаком и А,=
1) подстановкой PW =-sinx(<)", Nw = = cos и, 8 = щ, откуда
+ "*<=<* (sin u sin-g-")- (3-8)
Далее, после замены переменных % = '\Ja{2x - t), t = V"* получаем в
точности
Ч1~ uTT==sin"+-^ sin-^-u. (3.9)
Это лоренц-ковариантное уравнение может быть решено для одного кинка при
помощи перехода в сопутствующую систему. Траектории в фазовом
пространстве и, иt имеют вид
Y + cosm + cos = С, (3.10)
где С константа. Для С = 2 траектория соединяет неустойчивые
особые точки "6 = 0, " = 0 и "5 = 0, " = 4л. Эта траектория
описывает решение, соответствующее (3.6) в других координатах (мы перешли
от лоренц-ковариантных координат к конусным в уравнении (3.5) для
получения решения (3.6)).
Аналогичным образом можно решить уравнение (3.1) для всех случаев. Общее
решение есть
и = н0 + 4 arctg [ch б3 exp (0 - б[) + sh б3] +
+ 4 arctg [ch 63 exp (0 - 62) - sh 63],
0 = ев (/ - xv-1) + 0О = -![(2о - 1) т - |] + 0о,
2 yav
= (ЗЛ1)
Здесь особенно интересны четыре частных случая '):
I) н0 = 0, б1 = -б2 = 1п(л/5 + 2)=Д, .б3 = 0, и - 4 arctg (е8_д) + 4
arctg (е8+д),
= 2со sech (0 - Д) + 2ш sech (0 + А).
v = ш2 (со2 + -5- а) (3.12)
- решение уравнения (3.1) для Я, = 1 и знака "+" с гранич-
ными условиями (г. у.) "->0(mod4я), |х|->-оо;
II) "о = 2я, = in - б2 = In (V3 + 2) = А', 63 = 0, и = 2я + 4 arctg
(ее-д') - 4 arctg (е8+д'),
<8 = 2со sech (0 - А') - 2со sech (0 + Д'), (3.13)
v = со2 [со2 + 3/4а]-1
]) В работах [3.4], [3.5] имеется ошибка: Д в (I) и Д' в (II) были взяты
равными соответственно In (-^- V5 ^ и In (-^- Уз
3.2. Теория вырожденной СИП
131
•решение уравнения (3.1) для Я, = 1 и знака "+" с г. у. и--2я(тос14я),
|х|-*-оо (в действительности и-*-2я при х-
±°о);
III) "о = 6 - 2я, 6!=0, 62 = оо, 63 = -i-ln-|,
"-2"-в + 4а'с,е(^ве, + 1?)-
х 2 л/\Ъи> со2
(r) ~ 4ch0+ 1 ' V~ , , 15
Ш +16"
(3.14)
- решение уравнения (3.1) для А, = 1 и знака "-" с г. у. и-> -*-+6, х-*-
+оо, н-*-4я - б, х-*--оо;
IV) Ыо = 2я - б, 6, =0, 62 = - оо, б3 = - у In (5/3),
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed