Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
двойное СГ-уравнение как отображение восьмивершинной модели в поле;
восьмивершинная модель важна в статистической механике и содержит как
частный случай модель Изинга (в этом случае в электрическом поле).
Представляется вероятным, что могут найтись и другие приложения уравнений
типа двойного СГ-уравнения в статистической механике. Распространение
флюксонов в джозефсоновских контактах большой площади (скажем, 1 мм X 1
мм) описывается СГ-уравнением (случай к = 0) - см. гл. 2 или [3.14];
спиновые волны в A-фазе жидкого 3Не могут быть интерпретированы как
следствие внутреннего эффекта Джозефсона [3.7, 3.14]. Соответствующий
источнику член в уравнениях джозефсоновских контактов, как правило,
периодический, однако (3.3) может иметь некоторое отношение к этой
ситуации (см. [3.27]).
Все эти замечания указывают на то, что уравнение (3.1) представляет
реальный физический интерес и непосредственно, в задачах оптики и
спиновых волн, и косвенно, как уравнение, моделирующее поведение систем
типа (3.3). Однако с математической точки зрения, за исключением случая к
= 0, эти системы не являются интегрируемыми и не имеют солитонных
решений. На это указывают следующие д?а результата. Во-первых, нелинейное
уравнение Клейна - Гордона
uxt = F (и) (3.4)
допускает преобразование Бэклунда, если и только если F"(u) + a2F(u) = 0
для некоторого а (см. [3.28], [3.29]); во-вторых, оно имеет бесконечный
набор полиномиальных законов сохранения (см. гл. 1), если и только если
F"(u) + a2F(u) = = 0 [3.30]. То, что уравнение неинтегрируемо при любом
выборе знака, полностью подтверждено численным счетом [3.4-3.6, 3.31,
3.32]; сейчас не вызывает сомнения, что пара уединенных волн (решений
типа кинков) для уравнения (3.1) с отрицательным знаком и к = 1 испускает
излучение после столкновения
') По поводу исследования двойного уравнения sine-Gordon в сопутствующей
системе методами качественной теории см. [3.14].
3.1. Физические основания
127
[3.32, 3.33] (один такой пример показан на рис. 3.1)'). В гл. 1 мы
приводили аргументы в пользу того, что такое поведение решений не
позволяет решать эти уравнения каким-либо из вариантов метода обратной
задачи рассеяния (см. также замечание при корректуре в конце этой главы).
Можно было бы сделать из этого вывод, что в этой книге не место для
обсуждения уравнения (3.1). Однако уравнение с положительным знаком по
меньшей мере близко (в некотором функциональном смысле) к вполне
интегрируемому СГ-уравнению, получающемуся при X = 0. Сингулярная теория
возмущений вблизи СГ-уравнения уже успешно применялась для описания
поведения двух простейших решений уравнения
(3.1) (см. [3.32], [3.34] - [3.36]); мы вкратце изложим эту теорию в
конце настоящей главы.
Ниже мы займемся задачами о вырожденной СИП в разд. 3.2 и о спиновых
волнах в 3Не в разд. 3.3; затем в разд. 3.4 мы дадим набросок теории
возмущений. Чтобы закончить разд. 3.1, стоит, вероятно, показать в связи
с гл. 5, что прямой метод дает уединенные волны для двойного СГ-
уравнения, но не дает двухсолитонных решений.
Чтобы показать это, определим дифференциальный оператор (см. гл. 5)
х'=х, Г-Л.
Дальнейшие рассуждения таковы: положим
и = 4arctg (f/g),
тогда
их - 4DX (f • g)/(f2 + g2),
u*t = 4 [- (f2 - g2) DxDt (f-g) + fgDxDt (f-f-g-g)]X(f2 + g2V\
sin j и - 2fg (/2 + g2)-1; sin и = - 4fg (/2 - g2) (f2 + g2y2.
Возьмем уравнение (3.1) со Знаком +: Заменим (х - t)/2-*-х, (х + t)/21,
так что
= sin п +A, sin -^и, (3.5)
Вместо X поставим 4Х и возьмем X > 0. Уравнение приобретет такую форму:
(f2-g2) DxDt (f-g)+ fgDxDt (f.f-g.g)~
-Ug(f2 + g2) + fg(f2-g2)*= 0'
Ч В работе [3.28], где обсуждалась интегрируемость двойного уравнений
sine-Gordon, мы были склонны к противоположному выводу. Дальнейшие работы
показали, что вопреки свидетельству рисунка 1 цитированной работы
значительное излучение возникает в ряде ситуаций.
О'.ОЦа = (^-^) ["<*, DUX'. (')]}
128
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Естественно положить
DxDt (f-g) = fg,
DMf .f-g.g)=(ii-l)(P-g^) + K (f2 + g2).
Если мы положим
f = ef<1> + e3p+ .... g = 1 -f e2g(2) + e4g(4> + ...
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е, то получим р = 1 -f-
к (при е°), и
р = (1 +Я)р
(при е1). Тогда, если /(1) = е0, 0 = со/ - kx + б, где со? = -1 - к (из
со, к > 0 следует тем самым, что k <. 0), то
g(2) = [_V4(l + Я.)],
а все остальные р~п\ g(/!) можно выбрать обращающимися в нуль. Итак,
________
и = 4arctg[- V1 + A,~l/sh0'],
0' = 0 + 1п[1е Va(1 + Я,)'-1] (3'6)
является решением. При - оо, ц->0; при х->+оо, "->-->-4л. Это,
следовательно, 4я-кинк постоянной формы. Однако для двухсолитонного
решения мы должны были бы положить, естественно,
f(и = е9>-Ь е02| 0г =(c)г/ - ktx + 6г (/=1,2),
где tOiJfer = -1 - к. Ряды здесь, вообще говоря, не обрываются, за
исключением случая к - 0 (СГ-уравнение*).
3.2. Теория вырожденной СИП
Рассмотрим модель среды "двухуровневых атомов": каждый уровень пятикратно
вырожден, F = 2. Правила отбора имеют вид AF = 0, AMf = 0, так что
