Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
частоты Q". В В-фазе ситуация не совсем такая, поскольку потенциал V(u) =
2(cosu/2+ 1/4)2 не симметричен в окрестности минимумов б или 4л - б;
бризерный спектр здесь также неизвестен. Однако по-прежнему частота со
лежит ниже ?2ш. В работе [3.48] мы отмечали, что для рассматриваемых там
граничных условий (которые в лучшем случае могут лишь аппроксимировать
физическую ситуацию, так что к выводу следует относиться соответственным
образом.) бризерные решения должны играть роль в ЯМР-эффекте. Конечно же,
сопутствующие ЯМР частоты от "составных решений" дают о себе знать [3.9],
но это, в сущности, статический эффект. В настоящее время у нас нет
никаких данных, которые могли бы свидетельствовать о влиянии перемещения
бризеров на ЯМР-эффект.
Спиновые волны в 3Не Айв 3Не В могут быть созданы при помощи магнитного
удара. Предположим, что в формуле (3.19) В0 снова является однородным при
/ > 0, а при / < 0 имеется добавочное неоднородное поле ДВ0(х), которое
выключается при t = 0 (такой метод был предложен также в [3.8]). В работе
[3.48] мы показали приближенную эквивалентность этой задачи в A-фазе
решению уравнения (3.25) (для с-чисел) со следующими условиями: и-*-0,
их-*-0, ихх-*-0 и т. д.; |*|-*-оо;
#(х?0) = 0; щ{х, 0) - 2х при |х]</; ut(x, 0) = 0 при |*|>/;
(3.31)
144 3. Двойное уравнение sine-Gordon
Рис. 3.5. Долгоживущее бризероподобное состояние уравнения (3.1) (с
отрицательным знаком и к = 1), образующееся при падении друг на друга (4я
- -¦ 26) -кинка и антикинка (V = 0). Обратите внимание на слабое
излучение, испускаемое при скоростях ±1 (±с). Время t направлено к
наблюдателю; переменная х возрастает слева направо. Граничные условия
имеют вид и-*¦ б = 2 arccos (-1/4) при |х|->-оо.
Рис. 3.6. Поведение (4л - 26)-пары кинк - антикинк двойного уравнения
sine-Gordon вблизи порога (Г = 0.36) для образования бризера. Обратите
внимание на нерегулярность поведения и на возросшее по сравнению с рис.
3.5 ^ излучение. (Время t направлено вперед).
3.3. Спиновые волны в жидком 3Не
145
(/ - длина в безразмерных единицах, а т - частота в аналогичных
единицах). Кауп [3.50] частично решил такую задачу Коши, и мы отсылаем
читателя к его статье по поводу деталей простого, но искусного применения
метода обратной задачи. Маки и Кумар [3.8] развили другой метод, прямо
применимый к задаче о спиновых волнах в Не. Для наших целей существенно
Рис. 3.7. Пять стоячих бризеров уравнения sine-Gordon, образующихся из
начальных условий и(х, 0) = 0; ut(x, 0) sg; 2, |х| < 15, щ (х, 0) = 0,
|х| > >15. Время отсчитывается от t = 60 V2 и направлено в сторону от
наблюдателя. Обратите внимание на имеющуюся у этих бризеров тенденцию к
излучению.
отметить, что при т < 1 возникают стационарные бризеры, а не кинки:
каждый стационарный бризер имеет вид (1.31). Проделанный Каупом анализ
показал, что число таких бризеров равно целой части от (Д/я) + 1/2. В
реальных единицах
/т = ') (у ДДАаГ \ где радиус корреляции Яа = 2яП/аСа.
Поскольку длина образца L < 1 см, сА с<! 3 X Ю3 см/с и вблизи
критического значения ДВо ~ ДВос (см. [3.47], а также ниже) у ДВо ~ Q;a ~
Ю6 рад/с, то h может быть больше С>,300 (для Сд ~ 102 см/с, /т ~ 3000).
На каждый бризер приходится по два собственных значения ассоциированной
задачи рассеяния, так что количество собственных значений ^600 (для сд ~
~ 102 см/с 6000). Здесь, однако, наиболее интересен теоретически случай
узкой области магнитных возбуждений, где L"^Cl см Р Iх .4?. 1?" хотя,
конечно, его трудно реализовать эксперимент
146
3. Двойное уравнение sine-Gordon
тально. На рис. 3.7 изображен случай т < 1 и 5 стационарных бризеров.
Рисунок не охватывает начальный период возникновения этих бризеров (по
поводу этого интересного периода см. некоторые рисунки в [3.47], а также
рис. 3.8); время на рис. 3.7 начинается с момента /=60 л/2, и из рисунка
видно, что даже по прошествии столь длительного промежутка времени
стационарные бризеры являются устойчивыми решениями типа стоячих волн и
не имеют тенденции перемещаться.
Ниже при помощи анализа поведения на фазовой плоскости в синхронной
системе мы покажем, что значение т=1, где уДВ0 = уДВ0с = Q;a, имеет
"критический" характер: можно ожидать, что оно остается критическим также
в пространственно неоднородной задаче, и именно так обстоит дело. При т >
1 пары кинк - антикинк начинают расходиться в противоположных
направлениях. На языке данных рассеяния при т > 1 пары собственных
значений ?, -?* выходят на мнимую ось и расщепляются на ней. Максимальное
число пар кинк - антикинк, которые могут быть таким образом созданы, ~
1х/п = уАВ0Ьс^'п~1. Важно, что в то время как стоячие волны бризеров
остаются в области \х\< /, кинки излучают налево (х-+~-оо), а анти-кинки
- направо (дс->+°°)- Кинки и антикинки не могут излучать в одном и том же
направлении.
Соответствующие результаты для В-фазы более запутаны. Прежде всего не
известно ни одного, решения задачи Коши для уравнения в с-числах (3.26).
