Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 57

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 156 >> Следующая

'-ггв- (315)
" +Тб "
- решение уравнения (3.1) со знаком "-" при А, = 1 с г. у.
u-i-6, *-*-+ оо, 6, X~i-ОО.
Можно найти и другие решения, отвечающие различным граничным условиям:
в частности, для А, = 0 получим и =
= 4arctg(ee), или и - -я + 4аг^(ее) с v = to2(to2 ± а)-1 соответственно.
Это решения типа кинков, соответствующие невырожденным поглотителю (N-*-
- 1 при |х|-*-оо) и усилителю (А-> + 1 при |х|->оо) соответственно.
Видно, что в усилителе о > 1 (т. е. и>с), что обсуждалось, например, в
[3.14]. Решения уравнения (3.1) для вырожденного усилителя также могут
быть найдены: например, формулы (3.12) остаются в силе с тем отличием,
что теперь v = to2 [to2 + 5а/4]-1 > 1.
Отметим, что решение (3.12) для и описывает кинк со скачком 4я: это то же
решение (3.6), но записанное в других координатах и представленное теперь
в виде суммы двух 2я-кинков для s-G (случай Д = 0), разделенных
промежутком 2Д = 21пХ Х(+ 2). Аналогично (3.13) есть разность двух 2я-
кинков для s-G, разделенных промежутком 2Д' = 2 In (V3 + 2). Решения
(3.14), (3.15) являются кинками со скачками 4я - 6 и 26 соответственно и
не могут быть представлены в виде комбинаций 2я-кинков для s-G.
Электрические поля в (3.12) и (3.13) являются суммой и разностью "sech-
импульсов". Последние в невырожденном поглотителе имеют "площадь" 0 = 2я.
"Теорема площадей"1 для
132
3. Двойное уравнение sine-Gordon
резонансных оптических импульсов в невырожденной СИП изображена на рис.
2.1 в гл. 2; интересный анализ этой теоремы с точки зрения метода
обратной задачи проделан Ньюэллом в гл. 6. Имеется соответствующая
теорема площадей в вырожденном случае, хотя здесь и не работает метод
обратной задачи: эта теорема площадей имеет вид
0* = ±p(sin0 + -jsiny0), (3.16а)
где, как и в невырожденном случае,
оо
e(*)= J #(*, t)dt. (3.i6b)
- оо
Важно учесть, что х, t - лабораторные координаты для СИП в том виде, как
они появляются в уравнениях (3.7): заметьте, что переход после (3.8) к
новым координатам |, т необходим для получения ковариантной формы (3.9).
Для остро резонансной задачи р ~ 8(0), где б (лг)-это
б-функция [3.1], [3.14], [3.31]. Следовательно, единственными допустимыми
площадями являются нули функции sin0 +
+ у sin у0. а именно 0, 2л, б и 4л - б (mod 4л). Небольшое размышление
позволяет установить, что эта теорема площадей соответствует поглотителю
с г. у. u-"-0(mod 4л), |х|-"-оо и что площади б и 4л - б достигаются в
усилителе, описываемом формулами Р(,) = sin х(/)ы, А(,) = cos х(0ы [ср. с
выбором знаков для вывода уравнения (3.8)], и и = 0. Для этого усилителя
справедливо решение (3.12) с о> 1, но он является неустойчивым к замене
площади 4л на площадь 4л - б. Теорема площадей имеется для всех типов г.
у.; фундаментальные площади имеют вид 0 = 0, 2я, 4л; 0 = 0, 2я, 4я; 0 =
0, 4л- -26, 4я; 0 = 0, 28, 4я. Решения (3.12) - (3.15) суть
распространяющиеся без искажения решения, отвечающие каждому из этих
случаев.
В оптической задаче коллективные состояния оптической среды и = 2я, б и
4я - б являются возбужденными и, как отмечалось в разд. 3.1, неустойчивы
из-за спонтанного излучения. Хотя в инфракрасной области эти состояния
могут длиться ~1 с [3.2, 3.37], экспериментально они не были получены.
Состояние и = 0, если оно является абсолютным основным состоянием, не
подвержено такой неустойчивости. Мы поэтому сконцентрируем свое внимание
на решениях вида (3.12).
Очевидно, что оптический импульс (3.12) имеет два максимума; то же самое
справедливо и для ассоциированной с ним энергии Аналитическая форма этого
решения позволяет предположить, что другие приближенные решения уравнения
(3.9) можно получить изменением Д. Легко видеть, что эта
3.2. Теория вырожденной СИП
133
форма устойчива даже при больших изменениях А: нужно рассмотреть
единственный 2я-импульс <8 = 2(r) sech 0, входящий в 2-спиновую вырожденную
среду. Такие импульсы поворачивают "тяжелый" спин (с матричным элементом
р) на 2я, а "легкий" спин (с матричным элементом 1/2р) на я. Они
оставляют за собой, следовательно, шлейф возбуждений и = 2я (легкий спин
вверх - тяжелый вниз), теряют энергию (и амплитуду) и замедляются.
Рассмотрим теперь второй 2я-зесЬ-импульс, входящий в среду и = 2я,
возбужденную первым 2я-импульсом. Этот второй импульс восстанавливает
ориентацию "вниз" обоих атомных спинов, приобретает энергию, ускоряется и
(как показывают результаты численного счета) проходит сквозь медленный
2я-зесЬ-импульс, подобно s-G-солито-нам. Впоследствии он теряет энергию,
отдавая ее среде впереди себя, и замедляется, в то время как предыдущий
медленный 2я-импульс, имея перед собой состояние и = 2я, приобретает
энергию и ускоряется. На таких крупных масштабах мы будем называть
движение "чехардой" оптических импульсов [3.2,3.10]. Но любые два кинка
типа (3.12) с A=^=In(2 + V5) распадаются на осцилляции с конечной
энергией связи: само решение
(3.12) является связанным состоянием пары 2я-зесЬ-импульсов,
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed