Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
может возникнуть в системах с парным взаимодействием, приводящим как к
дисперсии, так и к нелинейности. В следующем разделе мы рассмотрим один
пример из многих типов нелинейных систем - электрическое поле,
взаимодействующее с ионной жидкостью.
2.2.2. Солитоны в физике плазмы
Солитоны встречаются в целом ряде областей физики плазмы. Большая часть
из них - это магнитно-гидродинамические волны [2.55-2.58], а также ион-
акустические волны [2.55,
96
2. Аспекты солитонной физики
2.59-2.61]. Как и в наиболее известном примере волн на мелкой воде,
изучавшемся первоначально Кортевегом и де Фризом, солитоны в плазменной
физике возникают из-за баланса между эффектами возрастания крутизны волн,
связанными с нелинейностью, и расползанием возбуждений из-за дисперсии.
Из-за недостатка места только ион-акустические [2.59] волны будут
подробно разбираться в настоящей работе. В рассматриваемой ситуации ионы
испытывают низкочастотные осцилляции вблизи ионной плазменной частоты.
Электроны следуют за движением ионов и обеспечивают приблизительную
нейтральность заряда. Уравнения здесь имеют следующий вид [2.62]:
+ V • "ЛГ = О (сохранение ионов), (2.46)
где tii и V,- - ионная плотность и средняя скорость соответственно;
пепге = - пее - Уре (сохранение электронного импульса);
(2.47)
rt/m.ilL=rt.ZE-VPi (сохранение ионного импульса), (2.48)
где Ze - заряд иона, т, и те - ионная и электронная массы соответственно,
pt и ре - давления и Е - электрическое поле, возникающее из-за отсутствия
точной нейтральности заряда, т. е.
V • Е = 4яе (Znt - пе). (2.49)
В этих выражениях мы пренебрегаем столкновениями; мы
также считаем, что в рассматриваемом случае ионная температура много
меньше электронной (т. е. 7', = 0), и пренебрегаем давлением р,-. Ток
определяется выражением
j = е (Zn{vt - пе\е)\ (2.50)
если пренебречь членами вида (me/m,) (niZ2/ne) (малыми по
сравнению с единицей), то получим
Ограничимся рассмотрением ситуации, где токи в плазме отсутствуют, т. е.
j = 0. Кроме того, для давления электронов используем обычное
изотермическое уравнение состояния ре = = nekTe.
Рассмотрим пространственно одномерную задачу и введем безразмерные
переменные
x'=xlL, t' = tlT, v' = vT/L, E' - eLEjkTt,
2.2. Модель нелинейной системы
97
где п0 - средняя плотность ионов, L2 - кТе/4пп0е2 и Т~2 = - 4nn0e2Z/m.
Уравнения (2.46), (2.48), (2.51) и (2.49) примут соответственно вид
дп' дп',о', -L _1 L.L- п dt' ^ дх' и' (2.52)
до', до'. (2.53)
Е/+Л-|т=0, пе дх (2.54)
дЕ' 7 , , -^г = гп-пе. (2.55)
Линеаризация этих уравнений вблизи п\=п'е = \ и v'i = E' = О вместе с
предположением, что все величины зависят только от kx'- at', приводит к
дисперсионному соотношению (Z полагается равным 1)
И2 = -^- = 1 -со2. (2.56)
Если, с другой стороны, предположить, что суммарная нейтральность заряда
имеет место прй условии Zn\^=n'e, то отсюда вытекает отсутствие дисперсии
V - a/k=\. В то же время суммарная нейтральность заряда в полных
нелинейных уравнениях (2.52) - (2.55) приводила бы к уравнению (2.52)
плюс уравнение
до', , дь', 1 дп,
- + ";-т=--т -г- 2.57)
dt 1 дх' п\ дх К '
Известно, что система (2.52), (2.57) приводит к нарастающему увеличению
крутизны вплоть до образования ударных волн. Так что именно отсутствие
полной зарядовой нейтральности определяет наличие дисперсии и,
предупреждая образование ударных волн, приводит к неизменности профиля
волны во времени.
Для слабой дисперсии соотношение (2.56) дает
к = (2.58)
и кх' - at' ~{х' - /') + -j а3х'. Полагая
| = со (x' - t'), Т]=СйУ,
(2.59)
98
2. Аспекты солитонной физики
<о^=- (о2|^-) = Е, (2.61)
СО
+ (r)3-з-==" - "'• (2.63)
приводим уравнения (2.52) - (2.55) к виду (п{-п, oj' = ")
^ jg. + + Ш2 дпи_ = о (2>60)
д| 1 д| 1 дп
ди
д| ' '""Kdl ' " <?ti
= (2.62)
ir + ^lr
Рассмотрим теперь возмущенные решения этих уравнений. Легко видеть, что
разложения искомых величин должны иметь следующий вид:
п= 1 + йДО) + ю4/г<2> + (2.64)
и = (о2и(1) + (о4и(2> + ..., (2.65)
пе -= 1 + "о2"'1" + (c)4"<2) + • • •, (2.66)
Е = (о3Е(|) + (о5Е(2) + ... . (2.67)
Подстановка этих разложений в уравнения (2.60) -(2.63) приводит к
уравнениям первого приближения
дп^ ди^ ди^ дп^
~Щ, еГ=0, -ЗГ"-ф -(2.68) В следующем приближении получим
^ + А"","") + "Я_^=0, (2.69)
^--"">^ = -EW, (2.70)
дя(2) с я'1*
_^ + -^=-"<>>E<'>-E<2>, (2.71)
^=л(2)_"(2). (2.72)
Эти уравнения сводятся к уравнению Кортевега - де Фриза для и<1>
ди(,) , (П ди(,) , 1 д3и(1) п m
¦*Г + " ~W + 2~W~ =°* (2'73)
В соответствии с соотношениями (2.68) аналогичные уравнения имеют место
для л(|) и п^\
Простейшее решение - уединенная волна, являющаяся соли-тоном для
уравнения КдФ, ы(1) = fix' - u0t') *= g(uo% - ari),
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
99
где а - ("о- 1)/со2; в этом случае уравнение (2.73) превращается в
обыкновенное дифференциальное уравнение
~а§' +"о??, + 7"У" = 01 (2.74)
интегрирование которого дает
ё - ~ sech2 ? ("о! ~ ат1)] • (2.75)
