Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, по данным рассеяния Е строится ядро R{l-\-y),
ОО
R {i + у) = \ R (S)exp [- it, (t + У)\ dt, -
- оо
N
~ * X Cj exp [- it,j (t + г/)], (2.86)
7-=l
где мы указываем зависимость от х. По заданному ядру R(( + у) ищется
решение
/ К2 2 ^12^ к==\-к% к22)
интегрального уравнения Марченко
(;Me(,.+,v*-(?)+
г / R (у' + у) ^
+ $*(*,/)( о )dy', О у. (2.87)
- ОО
Наконец, величина E(t, •) вычисляется по формуле
E(t, -) = 4Ka(t,t). (2.88)
Последние три формулы, вместе с зависимостью данных рассеяния от х,
даваемой формулами (2.85), завершают описание шагов (2) и (3). В
следующем разделе мы используем эти формулы для анализа эволюции поля Е
от его начального профиля до превращения в бегущую волну.
2.3.2. Физическая информация, даваемая методом обратной задачи
Если распределение g( • ) известно, данные рассеяния S(% = 0) определяют
S(x) согласно формулам (2.85). Этот факт приводит нас к идее
рассматривать среду при х = 0 как прибор, измеряющий Е(х = 0). По этим
результатам измерения мы можем построить E(t,x), используя (2.85) и
уравнение Марченко.
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
105
Рассмотрим, сначала импульс специальной формы, возвращающий после его
прохождения все осцилляторы в измерительном приборе при х = 0 в исходное
положение. Для такого специального импульса R(t,, х = 0) равно нулю для
всех вещественных ?, и ядро R(t + у, х = 0) сводится к конечной сумме по
дискретному спектру. Если все сводится к конечной сумме при х = 0, то в
силу (2.85) R будет конечной суммой и при любых х. В этом случае
уравнение Марченко сводится к конечномерной линейной алгебраической
системе [2.5, 2.11, 2.66], решения которой дают М-солитонные формулы.
(Здесь N обозначает количество собственных значений и размер
алгебраической системы.) Эти М-солитонные решения являются импульсами, не
претерпевающими искажений.
Односолитонная волна получается, если имеется ровно одно собственное
значение, ti = Е + Й1- В этом случае форма волны дается (см. [2.67],
[2.68]) равенством
Е (х, t) = 4г| exp [- i (ф0 + - 2\t)] sech [0О + ю2х - 2т\1].
(2.89)
оо
Здесь (й14-/(о2 = --i- ^ (?, - (Е')^Е'. а константы 0О и ф0
связаны с нормировочной константой с\ = -2гпехр(-0О) • •ехр(1фо). Это-
комплексный импульс, амплитуда которого 4г|sech(-); он распространяется
со скоростью 2г|/со2, а его фазовая скорость равна 2%/<й\. Подчеркнем,
что мнимая часть собственного значения ti определяет максимум амплитуды Е
и с точностью до (02 скорость огибающей, в то время как вещественная
часть ti (с точностью до множителя (Di) определяет фазовую скорость. В
литературе это решение известно под разными названиями - солитон, кинк,
2я-импульс; оно аналогично 2я-импульсу разд. 2.2.1 за исключением того,
что фаза ф здесь не обязана быть равной нулю. Нелишне отметить, что
линейная зависимость этого фазового члена от пространственных и временных
переменных подтверждает сделанные в работах [2.13], [2.14], [2.38]
предположения, а также экспериментальные результаты [2.40] - [2.42].
Если имеется более одного собственного значения, возникают
многосолитонные решения. Интересен частный случай, где два солитона имеют
одинаковую скорость огибающей. Такой импульс имеет нулевую площадь и
известен в литературе под различными именами - "Оя-импульс", "дублет",
"бризер". Его можно рассматривать как двухсолитонное связанное состояние,
или как локализованную волну с внутренней степенью свободы. Его
характерные черты лучше всего могут быть описаны в упрощенной ситуации,
где нет доплеровского расползания. В этом случае g(E) = 6(E), и> как мы
видели, динамика сводится к уравнению sine-Gordon (2.21). Импульс
вещественный, а соб-
106
2. Аспекты солитонной физики
Ственные значения или лежат на мнимой оси и- представляют солитоны, или
встречаются сопряженными парами (?, -?*) и представляют "бризеры". Эти
бризеры перемещаются с постоянной скоростью без затухания и возникают при
взаимодействии, вызывающем только сдвиг фазы - в точности как соли-
Рис. 2.3. График решения типа бризера.
тоны. Вдобавок они пульсируют, как это видно из аналитической формулы
(см. [2.18])
Fit х) - 8лccch9 sinф + (т|/6)th0cosф
, X) - ОТ] seen о , + (11/?)2 sech 20 соз 2(р ,
где
Ф = Фо + - 2|/,
0 == 0О + в>2х - 2r\t.
Типичный график изображен на рис. 2.3. Такой бризер имеет
4 степени свободы: величина Re{?i}= - Re{?2} = ?, определяю-
щая фазовую скорость, связана с эффектом пульсации; Im{?i} = Im {^2} = Л
определяет амплитуду; комплексное число С\ определяет положение импульса.
Из формул разд. 2.3.3 можно вывести, что энергия бризера немного меньше,
чем энергия двух-содифонного состояния; поэтому о бризере часто говорят
как
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
107
о связанном двухсолитонном состоянии. Эффект пульсации может
рассматриваться как проявление наличия внутренней степени свободы. Такая
точка зрения превалирует среди изучающих квантованное уравнение sine-
