Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
например, начальные состояния "почти повторяются" с течением времени -
повторяемость типа той, что была обнаружена в первоначальных численных
экспериментах ФПУ [2.9]. Ограниченность объема главы не позволяет нам
здесь обсудить связь с этими экспериментами; такое обсуждение можно найти
в [2.75].
Поскольку переменные действия различают торы, на которых лежат
траектории, и стало быть задают их радиусы, эти переменные связаны с
амплитудами колебаний. Кроме того, они определяют частоты колебаний
посредством формулы со = = VjH. Таким образом, они несут наиболее важную
информацию о динамике системы. Наоборот, начальные значения угловых
переменных, задающие положение точки на торе, несут гораздо менее важную
информацию. В действительности переменные действия измеряют площадь,
охватываемую базисными циклами тора, которая дается формулой
'* = 15- § Р"Ч-
ft-fl ЦИКЛ
В сущности именно из-за такого определения переменные действия не только
являются интегралами движения для гамильтоновой системы (2.90), но также
проявляют замечательную устойчивость по отношению к адиабатическим
(медленным) возмущениям динамической системы. В самом деле, они остаются
почти постоянными при указанных возмущениях с гораздо большой точностью,
чем другие интегралы движения, например энергия [2.72, 2.76]. Это
свойство устойчивости позволяет брать переменные действия в качестве
основы многих вычислений теории возмущений в механике.
Переменные действие - угол, описывающие осцилляторы с одной степенью
свободы и линейные системы взаимодействующих гармонических осцилляторов,
хорошо известны [2.76,2.77]. В [2.78], [2.79] мы пытались рассмотреть
переменные действие- угол для систем с солитонами по аналогии с этими
привычными системами.
После того как мы перечислили основные свойства вполне интегрируемых
гамильтоновых систем, вернемся к уравнению sine-Gordon, которое, как мы
видели, возникает как предел уравнений самоиндуцированной прозрачности в
отсутствие
110
2. Аспекты солитонной физики
неоднородного расширения. Поэтому эту систему можно использовать как
простую модель, чтобы проиллюстрировать пользу высших законов сохранения
в квантовой оптике [2.18, 2.80]. Наша цель здесь - объяснить эти
первоначальные вычисления с точки зрения полной интегрируемости.
Уравнение sine-Gordon для электрического поля Е имеет вид1)
г
~-Е = sin ^ Е{г', x)dz'.
Это уравнение определяет бесконечномерную гамильтонову систему 2)
lkE = V-W (2-91)
с гамильтонианом Н вида
Н{Е)= [ {cos[ J E(z')dz'- ljjdz.
(Здесь поле Е должно удовлетворять граничному условию 00
^ E{z')dz' - 2nn для целого п.) Так же как и в общем случае
- оо
самоиндуцированной прозрачности, уравнение sine-Gordon может быть
проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния при помощи, по сути
дела, той же самой линейной задачи на собственные значения и тех же самых
данных рассеяния.
Гамильтонова система (2.91) обладает бесконечным набором интегралов
движения. В самом деле, вычисление эволюции по т данных рассеяния
показывает, что величина, обратная коэффициенту прохождения, а (5),
постоянна по т при всех значениях В действительности эта совокупность
интегралов не является независимой, поскольку а(?) при 1т?>0 определяется
значением |а(?)| на вещественной оси вместе с нулями
') Мы заменили обозначения координат х->т, t-*-z для удобства изложения.
2) Обратите внимание, что антисимметрическая матрица Т заменяется иа
антисимметрический оператор V = д/дг, а скобки Пуассона, порожденные Т,
заменяются На скобки, порожденные V:
Г. (6 F "60\ 1 Г ( 6F д 6G 6 G д 6/Л.
{/, G}v s ^ 6Е , V 6Е J =¦= 2 ) [ЬЕ дг ЬЕ ЬЕ дг dz.
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
111
функции а (5) в верхней полуплоскости 5 посредством формулы (см. [2.24])
In а ^ In f \ -|а(П| 2 dl', Itn5>0. (2.92)
/tl V s -?/ / 2ш -i t - V
Однако совокупность
{?/(/ = 1,2 N)
и In [ a (g) |-2 (для всех вещественных ?)} (2.93)
является бесконечным набором независимых интегралов движения. Более того,
вычисление показывает, что эти величины находятся в инволюции по
отношению к скобкам Пуассона { > }v-
Существование такого бесконечного семейства наводит на мысль о полной
интегрируемости системы1). В бесконечномерном случае наличие бесконечного
числа интегралов движения необходимо, но не достаточно для полной
интегрируемости, поскольку в этом случае трудно усмотреть, что интегралов
действительно хватает; тем не менее уравнение sine-Gordon является вполне
интегрируемым [2.24, 2.81, 2.82]. Чтобы доказать это, нужно использовать
?/ и ln|a(?)|-2 для определения переменных действия, явно вычислить
угловые переменные для каждой переменной действия и проверить, что
преобразование от ? к этим координатам действие - угол является
каноническим отображением (взаимооднозначным, обратимым и сохраняющим
скобки Пуассона). Другими словами, нужно построить координатную систему,
эквивалентную Е, для которой половина степеней свободы является
