Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
чи при условии, что фг' - решение свободной, немедленно приводит к
уравнениям для матрицы К
+ J K{t, у')Ч>р(у', У) dy'.
- оо
Требование, чтобы ф было бы решением полной зада-
1
0
)ад + а".х(' Е0)к=О, />,-
(2А.За)
К = 0, t < у'
lim ?(/, г/')=-0;
у' -ОО
/1 0\ /1 0\ ,/ 0 ? (t)\
(о _J-4U(,) О )<2АЗЬ>
Обратно, задача (2А.З) с данными на характеристике, изображенная на рис.
2.5, однозначно определяет К¦ Более того, если ядро К известно, граничное
условие (2А.ЗЬ) выражает поле ? через значение Кц на диагонали:
E(t) = 4Ka(t, t).
(2А. 4)
118
2. Аспекты солитонной физики
Таким образом, если мы найдем ядро К по спектральным данным, мы найдем
импульс Е.
Вторым шагом в выводе уравнений Марченко является получение интегральных
уравнений для К с ядром, выражающимся через данные рассеяния 2. Этот
второй шаг начинается
Рис. 2.5. Задача для К с данными иа характеристике.
с того, что мы рассматриваем ядро К как известное и используем его для
получения каузального представления задачи рассеяния. Здесь свободная
волна имеет вид и полная
\6(t-y)J
волна ф (совпадающая со свободной при <-"-оо) имеет вид
Используя зануление ij> (t,y) при t~>y, сведем эти уравнения к тождеству
+
г / я (/ + у) \
+ $*(*,/)( о ) dy\ О у. (2А.5)
Это тождество можно рассматривать как интегральное уравнение (уравнение
Марченко), решения которого определяют
Приложение А. Формальный вывод уравнений Марченко
119
ядро К по отраженной волне /21). Такой вывод уравнений Марченко, как нам
кажется, является наиболее прямым, поскольку он минимизирует выкладки;
тем не менее, чтобы найти К (и, следовательно, Е), представляется
необходимым использовать спектральное представление отраженной волны
Поскольку ф] (t, ?):=/?(?)exp(--it,t) при t-*-oo, его пре* образование
дает важное представление
/?(* + г/)=4т \ Я(?)*-" <*+ir>dC,
га
где контур Го, как мы напомним читателю, выбирается лежащим выше всех
полюсов величины /?(?). Чтобы продеформиро-вать контур Го в вещественную
ось, используем вычисление вычетов, что приводит к эквивалентному
представлению
оо N
R" + y) = ~k; \ .
/=1 (2А.6)
Таким образом, данные рассеяния Е определяют R и, следовательно, Е при
помощи уравнений Марченко.
Представление (2А.6) справедливо для всех значений х\ однако, комбинируя
его с выражениями (2.85), дающими эволюцию по х, получаем выражение $(tу,
х) через Е(дс = 0):
оо
R V + У, х) = J d?exp t ^(/ + у) +
N
+ | \ j j #(* = 0, С)-"' Xjexp (/+"/) +
+j S <2A-7>
В заключение нам приятно поблагодарить проф. Флашку,
прочитавшего предварительный вариант этой статьи и сделав-
шего много полезных замечаний.
') Важно учесть, что К в уравнении (2А.5) имеет внд
( *22 *12 \
К = I , I, что вытекает из (2А.З).
\ - *1? *8 /
120
2. Аспекты солитонной физики
ЛИТЕРАТУРА
2.1. Russelll J. S. - Proc. Roy. Soc. Edingburgh, 319 (1844).
2.2. Korteweg D. J., de Vries G. - Philos. Mag. 39, 422 (1895).
2.3. Miura R. - SIAM Rev.
2.4. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. - УФН 103, 193 (1971).
2.5. Scott А. С., Chu. F., McLaughlin D. W. - Proc. IEEE 61, 1 1443
(1973).
2.6. Backlund A. V. - Math. Ann. 9, 297 (1876).
2.7. Backlund A. V. - Math. Ann. 19, 387 (1882).
2.8. Whitham G. B. - Linear and Nonlinear Waves (John Wiley, New York,
1974). [Имеется перевод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М. Мир,
1977.]
2.9. Fermi Е., Pasta J. R., Ulam S.- In Collected Works of Enrico Fermi,
Vol. II (Univ. of Chicago Press, Chicago 111. 1965). [Имеется перевод:
Ферми Э. Научные труды, ч. II. - М.: Наука, 1982.]
2.10. Newell А. С.- Proc. N. S. F. Conference on Solitons, Tucson,
(1976).
2.11. Toda М. -Phys. Rep. 18C, 2 (1975).
2.12. Zabusky N. J., Kruskal M. D. - Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).
2.13. McCall S. L., Hahn E. L. - Bull. Am Phys. Soc. 10, 1189
(1965).
2.14. McCall S. L, Hahn E. L. - Phys. Rev. Lett. 18, 908 (1967).
2.15. Lamb G. L" Jr. - Phys. Lett. 25A, 181 (1967).
2.16. Arechi F. Т., Bonifacio R.- IEEE J. QE-1, 169 (1965).
2.17. Seeger A., Donth H., Kochendorfer A. - A. Phys. 134, 173 (1953).
2.18. Lamb G. L., Jr.- Rev. Mod. Phys. 43, 99 (1971).
2.19. Gardner C. S., Greene J. М., Kruskal M. D., Miura R. M. - Phys.
Rev. Lett., 19, 1095 (1967).
2.20. Захаров В. E., Шабат А. Б. - ЖЭТФ 61, 118 (1971).
2.21. Lax P. D. - Comm. Pure Appl. Math. 21, 467 (1968).
2.22. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A., Segur H. - Stud. Appl. Math.
53, 249 (1974).
2.23. Захаров В. E., Шабат А. Б. - Функц. анализ 8:3, 43 (1974).
2.24. Flaschka H., Newell A. С. Integrable Systems of Nonlinear Evolution
Equations. - In Dynamical Systems, Theory and Application, Lecture Notes
in Physics, Vol. 38, ed. by J. Moser (Springer, Berlin, Heidelberg, New
York, 1975).
2.25. Ablowitz М., Segur H. - Preprint, Clarkson College of Technology,
Potsdam, N. Y. (1975).
2.26. Манаков С. В. - ЖЭТФ 65, 1392 (1973).
2.27. Манаков С. В, -ЖЭТФ 67, 543 (1974).
2.28. Ablowitz М. J., Newell А. С. - J. Math. Phys. 14, 1277 (1973).
2.29. Lax P. - Comm. Pure Appl. Math. 28, 141 (1975).
