Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
законов сохранения [2.18].
Это наблюдение увеличивает важность упоминавшейся выше проблемы
эквивалентности. Можем ли мы использовать интегралы {Ck}, задаваемые
начальными данными, для определения переменных действия и тем самым для
получения содержащейся в них физической информации - амплитуд и скоростей
солитонов, амплитуд и частот "звенящих" компонент?
В приложениях [2.83, 2.84] предполагается, что "звенящим" вкладом можно
пренебречь и вдобавок что априори известно - скажем, из теоремы площадей
- число солитонов, возникающих из рассматриваемых начальных данных. В
этом случае константы {С*} используются для оценки скоростей возникающие
Приложение А. Формальный вывод уравнений Марченко
115
солитонов. Например, если известно, что возникают два солитона, то пара
соотношений
00
с, -4- JI?(*, [(;;)-?,] +[(ф-(у],
- 00
00 - 00
может рассматриваться как два нелинейных алгебраических уравнения с двумя
неизвестными (?i и ?2). Их решение дает выражения скоростей возникающих
солитонов через начальный импульс Е (см. [2.66]).
Этот метод использовался Березиным и Карпманом [2.68] и был ими вполне
строго обоснован для уравнения Кортевега - де Фриза. При исследовании
строгости этого метода в общем случае немедленно обнаруживается, что
отбрасывание непрерывной "звенящей" составляющей может не давать хорошей
аппроксимации. Хоть непрерывная компонента и затухает по т, все же часто
такое затухание происходит лишь алгебраически и локально по (г, т). Опыт
показывает [2.18, 2.68], что отбрасывание непрерывной части тем точнее,
чем более гладкими являются начальные данные. Начальные профили, имеющие
скачкообразный разрыв поля или его производных невысокого порядка,
приводят к заметному "звону", которым нельзя пренебречь. (Такое
отбрасывание "звенящего" вклада для уравнений самоиндуцированной
прозрачности много лучше, чем для уравнения sine-Gordon, поскольку для
них непрерывная компонента затухает экспоненциально по т для почти всех
z. Следует отметить, что система уравнений самоиндуцированной
прозрачности не приводит к выражению глобальных интегралов движения
только через поле Е. Однако локальные законы сохранения существуют и
могут быть вычислены, как и выше. Снова опыт показывает, что для системы
самоиндуцированной прозрачности при достаточно гладких начальных данных
процедура вполне согласуется с численными результатами.) Мы полагаем, что
рассмотрение этих вычислений с точки зрения динамики вполне интегрируемых
гамильтоновых систем внесет ясность, делая очевидными используемые
приближения.
Приложение А. Формальный вывод уравнений Марченко
В этом приложении мы дадим вывод уравнений Марченко, более прямой, чем
тот, который обычно встречается в литературе. Различные фрагменты этого
приложения содержатся
116
2. Аспекты солитонной физики
в [2.5], [2.8], [2.22], [2.23], [2.85] - [2.88]. Наш вывод
непосредственно связан с важной работой [2.89] и может быть найден в
[2.90].
Начнем с рассмотрения следующей "задачи рассеяния", записанной на
спектральном языке:
Г./М о\ if О ?(/)у|/1|>,(/, СП Jbit, СП
L4o -i)dt 2\E-(t) о Жы/, о/ ?U2(/,c)/'
(2А.1)
М. 0^ (г(?))е^ ПРИ /-> + 00>
Ф(/, ?)^ ещ ) ПРИ
та же самая задача рассеяния на каузальном языке записывается в виде
д* ди 2() У)\_ п
^ Ь + ди)\Ы,у)Г '
$(t,y) = 0. t>y,
пр"
( 0 "у
~ I ~ J при /-"-{- 00.
Разумеется, эти два представления эквивалентны, и связь между ними
осуществляется преобразованием
Ф(Л S ?)d?>
/ < V, (2А.2)
га
где путь интегрирования Го идет от -оо до оо, обходя сверху все полюсы
функции ф (/, ?). Такой выбор пути интегрирования обеспечивает за'нуление
каузального представления при t > у. (Полюсы функции ф являются полюсами
Т(?), т. е. нулями величины [п(?)]* = [^(Ш-1-) Предположим для простоты,
что Е зануляется вне конечного интервала по t. В этом случае
асимптотические граничные условия означают просто "вне носителя Е"\
весьма полезно изобразить каузальное представление задачи рассеяния так,
как на рис. 2.4.
Приложение А. Формальный вывод уравнений Марченко
117
Оказывается, что каузальное представление является наиболее удобным
средством для вывода уравнений Марченко, являющихся основными уравнениями
метода обратной задачи. С другой стороны, спектральное представление дает
больше информации о структуре, поведении и свойствах решения этих
уравнений и тем самым о поле ?.
Вывод интегральных уравнений Марченко осуществляется за два шага. Во-
первых, рассмотрим какое-нибудь решение cpf "свободной задачи" ((2А.2)
при ? = 0). Определим оператор преобразования К, который переводит любое
такое свободное решение в решение ф полной задачи ((2А.2) с ?=^0),
совпадающее с при t-*~-оо:
ф(/, y) = <vF{t, У) +
t
Рис. 2.4. Каузальное представление задачи рассеяния. Заштрихованная
область соответствует носителю Е. Поле ф падает слева и имеет вид дельта-
функции. Отраженная компонента обозначена через R., проходящая через Г, в
области / > у поле ф зануляется.
