Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
= 1. Для X = 0 и знака "+" (3.1) является обычным СГ-уравнением с
граничным условием ы->-0(шоб2л) при |x|-voo; для того же граничного
условия X = 0 и отрицательного знака уравнение
(3.1) неустойчиво - см., например, замечание в [3.14] и в предыдущей
главе. Аналогичный неустойчивый случай можно получить из (3.1) при Х=1
(см. [3.2]). Устойчивое СГ-уравнение описывает распространение строго
резонансных (т. е. не претерпевающих "неоднородного уширения") коротких
оптических импульсов в невырожденном поглотителе (см., например, гл. 2
или гл. 6; см. также цитированную там литературу, особенно [3.1], или,
например, [3.13] --[3.16]). Неустойчивый случай описывает распространение
возбуждений в усилителе [3.1]. Как мы увидим, устойчивое СГ-уравнение
описывает также распространение плоских спиновых волн в A-фазе 3Не при
температуре ниже 2.6 мК- Первым из результатов мы обязаны Маки и Тсунето
[3.7] (см. также [3.19]).
Ниже 2.6 мК 3Не в основном существует в виде двух жидких фаз, А и В
[3.17]. Обе они являются анизотропными магнитными жидкостями [3.3-3.5,
3.7, 3.8, 3.18, 3.19]. Как мы увидим ниже, оказывается, что плоские
спиновые волны в В-фазе описываются двойным СГ-уравнением (3.1) с Х=1 и
отрицательным знаком [3.3-3.6, 3.8, 3.9]. Кроме того, оказывается, что
распространение острых резонансных пиков в вырожденной атомной среде с Q
(2) -симметрией переходов [3.1, 3.2, 3.14] описывается двойным СГ-
уравнением (3.1) с Х = 1 и положительным знаком. В принципе все четыре
случая для X = 1, а именно знак "+" с с = 0 или 2я и знак "-" с с = б или
с = 4я- б описывают резонансную СИП в Q(2)-вырожденном поглотителе
[3.2]; вырожденному усилителю соответствуют еще четыре случая [3.1]1).
') Альтернативный термин-"ослабитель"-используется для поглотителя в
[3.2]. Все поглотители (ослабители) являются устойчивыми в отсутствие
спонтанного излучения, Мы обсуждали в другом месте (см. [3.20]) теорию
3.1. Физические основания
125
Двойное уравнение s-G является одним из серии кратных уравнений s-G, в
принципе допускающих приложения (см.
[3.4]): например, тройное уравнение sine-Gordon
11 2 2 ихх - utt - sin и + -j sin -j и + -g sin у и (3.2)
описывает распространение строго резонансных пиков оптических импульсов
сквозь невозбужденную поглощающую среду с Q(3)-симметрией (см. [3.1],
[3.14]); обобщение на случай Q{J)-симметрии очевидно. Для этих симметрий
правила отбора для оптических переходов имеют вид AJ = О, AMj = 0; J -
квантовое число углового момента. В экспериментах [3.10] J есть квантовое
число F= 2 сверхтонкой структуры; кратность вырождения перехода равна 2F
+ 1 = 5; теорема Вигнера - Экхарта показывает, что различные матричные
элементы суть ±р, ±р/2, 0 для AMf = 0 и соответственно MF= ±2, ±1, 0;
различные величины - р, р/2, 0; важны только р и р/2. Уравнение (3.1) с
положительным знаком и 1=1 получается отсюда, как мы покажем ниже, после
масштабного преобразования.
Уравнения типа двойного sine-Gordon связаны и с другими физическими
задачами: например, они встречаются в квази-одномерной конденсатной
теории волн плотности заряда (ВПЗ) для органических линейных проводников
типа TTF-TCNQ (тет-ратиафульвалентетрацианокинодиметан) [3.21]. Эти
системы состоят из одномерных органических полимерных цепочек. Скользящие
ВПЗ были введены Пайерлсом [3.22] и рассматривались в трансляционно
инвариантном случае Фрелихом [3.23], но во встречающихся на практике
цепочках соизмеримость нарушает трансляционную инвариантность [3.24], и
ВПЗ переходит в периодический "пининг"-потенциал, имеющий в про-втейшем
случае вид cos Ми, где и - конденсированная фаза. Парное кулоновское
взаимодействие приводит к возникновению второго потенциала, величина
которого при низких температурах пропорциональна cos и. В случае наличия
доминирующей фазы потенциал V {и) ~ cos Ми + К cos и связывается с
физически осмысленным лагранжианом с плотностью 9? [и] = ~ щ -
-]ru\-V{u) [3.21]. Тогда уравнения движения после мае-
? .
штабного преобразования принимают вид
Uxx - "" = sin и+ X sin -%г. (3.3)
вырожденной суперфлюоресценции (см. также ниже разд. 3.2), где, например,
среда в неустойчивом усиливающем состоянии, ассоциированном с с = 0,
распадается на устойчивые состояния и = б или 4л - б, частично через
неустойчивое состояние с = 2я.
126
3. Двойное уравнение sine-Gordon
Поскольку М = 2v_1, где v - число электронов на атом (или на группу
молекул), то М = 4 для D(TCNQ)2 (здесь D означает "донорскую" группу), Af
= 3 для D3(TCNQ)2; для самого TTF-TCNQ v = 0.58, что можно приближенно
заменить на v = = 1/2 и М - 4. Легко увидеть на фазовой плоскости лоренц-
ковариантного уравнения (3.3), рассматриваемого в сопутствующей системе,
что это уравнение должно вести себя во многом как двойное уравнение sine-
Gordon с положительным знаком1).
Один из видов двойного СГ-уравнения возник в теории "сшивания"
поливинилиденфторида, PVF2 [3.25]. Лютер [3.26] получил квантованное
