Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
sine-Gordon неинтегрируемо: мы исследуем эту систему аналитически и
численно и делаем вывод о существовании "качающихся" 4я-им-пульсов в
оптическом случае, что подтверждается экспериментами. Мы решаем задачу
Коши для некоторых начальных данных и показываем, как эти решения можно
использовать для описания возникновения спиновых волн в 3Не А и 3Не В.
Наконец, мы строим сингулярную теорию возмущений в терминах данных
рассеяния для уравнения sine-Gordon, чтобы описать 4я-вобблеры ') и
аналогичные им Оя-импульсы.
3.1. Физические основания
Цель настоящей главы - проиллюстрировать реальное поведение солитонов или
солитоноподобных объектов в двух физических ситуациях. За исключением
последнего раздела, от читателя требуется лишь сравнительно небольшая
математическая подготовка. Мы надеемся, что по прочтении этой главы
станет понятно, почему при изучении физических проблем возникают как
"интегрируемые", так и "неинтегрируемые" системы, а сопоставление
поведения одной интегрируемой системы, уравнения sine-Gordon2), и тесно с
ней связанной неинтегрируемой, двойного уравнения sine-Gordon, прояснит
различие между этими системами. В главе будут кратко рассмотрены
конкретные физически интересные начальные условия для каждой из них и
будет проиллюстрировано, как метод обратной задачи рас-
¦) От англ. wobble - качаться, шататься. - Прим. перев.
а) Далее для краткости уравнение sine-Gordon будет называться СГ-урав-
неннем. - Прим. перев.
3.1. Физические основания
123
сеяния можно использовать при решении задачи Коши для близких
интегрируемых систем и при построении теории возмущений для
соответствующих неинтегрируемых систем. Двойное уравнение sine-Gordon
является новой системой. Она вводится здесь для того, чтобы обсудить
возможные приложения теории солитонов в более широком классе ситуаций.
В этой главе мы будем иметь дело с двумя физическими задачами: с задачей
из нелинейной оптики о распространении резонансных коротких световых
импульсов в среде с вырожденными атомными переходами и с задачей о
распространении спиновых волн1) при очень низких температурах в магнитных
фазах 3Не. В первой задаче мы имеем дело с оптической самоиндуцированной
прозрачностью (СИП) в вырожденной атомной среде [3.1, 3.2]. СИП в
невырожденной среде уже описана Лэмом и Маклафлином в предыдущей главе.
Задача о спиновых волнах в 3Не в этой книге больше не обсуждается; их
теория в том виде, как она изложена, в основном развита нами [3.3-3.6].
Близкие работы Маки и Кумара [3.7], [3.8] появились параллельно с нашими
(и чуть раньше их); предпринятый в работе [3.7] анализ повлиял на
некоторые наши соображения. Как и в своей более поздней работе [3.9],
Маки и Кумар детально обсуждают возможности эксперимента. Мы также
обсудим этот вопрос в настоящей главе.
Для распространения оптических импульсов успешный эксперимент
действительно был осуществлен [3.10]; этот эксперимент будет кратко
описан в статье. В случае спиновых волн столь же надежного эксперимента
пока выполнено не было2); хотя вместе с Маки и Кумаром [3.8] мы и
предлагаем варианты проведения такого эксперимента, мы вынуждены
признать, что сделать это может оказаться очень трудно. Одна из причин
заключается в том, что солитоноподобные спиновые волны возбуждений,
которые мы будем описывать, по-видимому, должны генерироваться сразу во
множестве там, где они вообще могут возникнуть; другая - в том, что в
нашей теории волны считаются плоскими, и она может оказаться мало
пригодной для описания реальной ситуации в 3Не, где "текстура" [3.9,
3.11], ассоциированная с трехмерной геометрией системы, играет важную
роль. Наоборот, в случае СИП поперечная самофокусировка хотя и важна,
однако не имеет решающего значения [3.12, 3.13]; плоская волновая теория
пригодна для качественного
') Мы используем термин "спиновый волны" для обозначения волн воз-
.буждений магнитного спина; они могут быть распространяющимися или
неподвижными (в последнем случае чаще говорят о "доменных стенках"). Мы
всегда будем использовать этот термин в нелинейных ситуациях, тем самым
обобщая понятие "спиновых волн", которые в рамках линейной теории должны
быть гармоническими. .'¦¦¦•
2) Мы, однако, не имели возможности познакомиться с работами № 28
В № 29, цитированными а статье Маки [3.9].
124
3. Двойное уравнение sine-Gordon
описания, и возбуждения односолитонного типа могут сравнительно легко
быть созданы и изучены в лаборатории.
Все же в этой главе в основном рассматривается одна физически осмысленная
система нелинейных уравнений в частных производных, а не
экспериментальные подходы к ее изучению. Эта система - двойное СГ-
уравнение
"хх - "// = ±(sin" -f yXsin у и) (3.1)
с граничными условиями и-*-с (mod 4я), их, ихх, иххх и т. д.->-0 при |х|-
> оо. Число с выбирается так, чтобы правая часть в этом пределе
обращалась в нуль: последнее выполняется при и = 0 или 2л для знака "-{-"
и X = 1, а также при и - б = = 2arccos(-1/4) или 4л - б для знака "-" и X
