Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
интегралами движения гамильтоновой системы (2.91).
Физическая информация, содержащаяся в интегралах движения семейства
(2.93), представляется совершенно ясной. Собственные значения ?/ задают
амплитуды и скорости импульсов, распространяющихся без искажений. Функция
1п|а(|)|~2 нелинейным образом ассоциируется с амплитудой "звенящей"
составляющей поля. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сохранение
вероятности (2.84) можно переписать в виде |а(?)|2 = = 1-|У?(?)|2; таким
образом, ln|a(?)|-2 определяет величину коэффициента отражения |Я|2,
которая в свою очередь связана с амплитудой "звенящей" компоненты Е, и
эта связь делается непосредственной для слабых импульсов Е. В самом деле,
для слабых импульсов R(Q сводится к фурье-образу величины Е [2.25, 2.26,
2.65, 2.78].
') Именно эта идея привела Гарднера, равно как и Захарова и Фаддеева, к
построению гамильтонова формализма для уравнения КдФ. [Частные
сообщения.]
112
2. Аспекты, солитонной физики
Хотя физическая информация, содержащаяся в инвариантах движения семейства
(2.93), совершенно ясна, эти интегралы выражаются на языке спектральной
теории. Для сопоставления с ранними работами по "высшим законам
сохранения" было бы желательно выразить явно эти константы через Е. К
сожалению, явные выражения переменных действия через Е для этой
совокупности неизвестны; однако весьма явные формулы можно получить для
другой совокупности инвариантов движения, связанной с первой.
Ясно, что семейство инвариантов (2.93) определяет интеграл движения
1па(?) посредством формулы (2.92). В свою очередь разложения 1па(?) возле
? = 0 и возле ? = оо дают асимптотические представления
оо
lna(?)~ Y, Ajfc-i?2ft_I вблизи ?~0,
fe=i
оо
In а (?) ~ Y. C2k-\ (VQ2k~l вблизи ?~ оо,
fe-i
где коэффициенты разложения имеют вид
-ЕНйГ-<МД+a-i*JSWJL •
" * (2.94)
C>-ZiКО* - (W'l + 15-5 "|п (I"(вГ!)6 = 1, з,...
/= 1 о
Совокупности {Ск, k= 1, 3, ...} и {Dk, k=\, 3, ...} образуют бесконечные
семейства интегралов движения, определяемые переменными действия (2.93).
Для такой системы обратимость пока не доказана. Другими словами,
неизвестно, определяют ли семейства {Ск} или {Dk} переменные действия и
тем самым эквивалентны ли они переменным действия. Было бы интересно
установить такую эквивалентность, поскольку именно эти семейства {С*} и
{Dk} (а не переменные действия) явно выражаются через поле Е, содержат
привычные интегралы (такие, как энергия) и были первоначально
использованы для извлечения информации из "высших интегралов движения". С
другой стороны, суммарная информация, извлекаемая из семейства {С*} и
{Dk}, не известна точно, хотя и ясно, что переменные действия составляют
половину (причем наиболее существенную) информации, необходимой для того,
чтобы явно проинтегрировать уравнение. Формулы (2.94) для интегралов {Ск}
и {Dk} показывают, что эта проблема эквивалентности может быть
переформулирована как проблема моментов [2.24, 2.78]. Определяют ли
моменты функции 1п|а(|)| функцию 1па(^)?
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения 113
Для более простой системы - цепочки Тоды - мы показали в [2.78], что
семейство, аналогичное {С*}, определяет переменные действия. Однако это
доказательство основывается на представлении In а (5) сходящимися
степенными, а не асимптотическими рядами, и обобщить его на случай
уравнения sine-Gordon не представляется возможным.
Теперь укажем, как семейство {Dk} выражается через поле Е. Это семейство
{?>*} определяется lna(t) вблизи S -0. Используя технику типа той, что
применяется в низкоэнергетической ядерной физике для вычисления "длин
рассеяния" [2.24, 2.81, 2.82], выводим тождество
4-111 а (О i \ {[
Ф1 (Z, ?) фг (г, S) + Фа (z, S) ф! (z, S)
о (О
]- 'I*-
(2.95)
Здесь ф и ф являются решениями задачи на собственные значения (2.80),
удовлетворяющими граничным условиям
ф(2, и ф(г, ?)^аг^_
При ? = 0 можно найти ф и ф в явном виде:
Г Е (г', т) , , cos \ -dz
- ОО
. f Е (г', т) . ,
- sin \ -^2 dz
- ОО
. С Е (*', х)
31П \ -
ф(2, Т) =
ф(г, т) = (- 1)"
dz'
- ОО
г
Г Е (г\ т) . , cos \ - 2 dz
ОО
где ^ E(z', т) dz' = 2пя. Подстановка этих выражений в (2.95)
- оо
дает
114
2. Аспекты солитонной физики
и показывает, что Di = -iH, где Н есть гамильтониан. Аналогичные, но
более сложные вычисления дают выражения для Dk через поле Е.
Выражение через Е семейства {Ск} получается из поведения lna(^) при
больших ?¦ Используемая здесь техника аналогична методу ВКБ в квантовой
механике. Определим, следуя [2.20],
F{z, C)saln[q>i(zt Qe't*].
Заметим, что lim F {у, ?) - In a (?). Преобразование задачи на
2-+ + оо
собственные значения (2.80) приводит к уравнению для F:
При больших ^ это дает асимптотическое разложение
lna(?)=I С24_, (}/?)"-',
k - 1
где {Ск} выражаются через Е. Первые два члена этого разложения суть
оо
С, =-i- J E2(z, т)dz,
(2.96)
S (\Ez\2 + \Ef)dz,
- оо
и т. д. Эти формулы позволяют выразить интегралы {С*} через начальный
профиль импульса E(z, т = 0), а это как раз и есть плотности высших
