Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для плотности р это дает
р - п0(о2п<1> = 6п sech2 [(х - vt)/D], (2.76)
где ___
"="• л/'^Г' <2-77>
".= 1 + Г-^. (2.78)
°2"й(т^г)=й|г- е-то
Видно, что ширина солитона (~D) уменьшается с увеличением амплитуды б п.
Кроме того, скорость v уединенной волны растет с увеличением б п. Эти
результаты были экспериментально проверены. Для значений по ~ 109-1010
см-3, Те = 3 эВ и 7, < <¦ 0,2 эВ Икези [2.63] получил подтверждение
соотношения между скоростью импульса и его шириной. В этих экспериментах
6п/по да 0,2. Наблюдалось также распадение импульса, и число импульсов
находится в соответствии с теоретическими предсказаниями, полученными из
решения задачи Коши для уравнения Кортевега - деФриза.
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
Большая часть этой книги посвящена приложению метода обратной задачи
рассеяния к нелинейным системам. Здесь мы вводим и обосновываем его
применение в физике самоиндуци-рованной прозрачности. Беглое знакомство с
остальной частью этой книги показывает, что возможности спектрального
метода гораздо шире, чем данное его приложение в оптике; тем не менее мы
верим, что многие характерные черты метода будут казаться менее
таинственными, будучи описанными в физическом контексте.
100
2. Аспекты солитонной физики
2.3.1. Физическое введение в метод обратной задачи рассеяния
Прямая задача самоиндуцированной прозрачности - найти решение [E{t, х), A
(t, х\ 5), B(i, х\ 5) ] системы
а"Е = -<2лв->; ""(в) = К-;г -2?) (в) <2'80а'ь)
со следующими граничными условиями:
E(t, х)\Хж.0 = Е0(1)->0 при >±оо; (2.81а)
/ Л(/, х; ?) \ / 0 \
(*</." О)"Ы "р" (2'8,Ь)
ОО
Здесь (/(•))= ^ f(C)g(0dC- Уравнения (2.80) являются ком-
- оо
плексной записью системы (2.8). ? обозначает медленно меняющуюся
комплексную огибающую электрического поля. Напомним, что это поле
приведено в резонанс со средой, которая описывается как совокупность
двухуровневых квантовых осцилляторов. А и В обозначают медленно
меняющиеся амплитуды соответственно верхнего и нижнего квантовых уровней.
Они определяют поляризацию К и число инверсий N по формулам
X (/, х; ?) = - 2А (/, х; ?) В* (/, х; 5),
N (/, х; 0 = \А (/, х; 5)12 - I В (/, х; 5)12.
Параметр 5 есть мера различия между несущей частотой и собственной
частотой осциллятора. При точном резонансе 5 = 0. Отметим, что такая
аппроксимация двухуровневой динамики (А, В) может быть получена из
точного двухуровневого описания (а, р) системой (2.1) при помощи схемы
аппроксимации, аналогичной той, что была использована в разд. 2.2.1 для
вывода блоховских уравнений (2.5) - (2.8). Такое сведение детально
обсуждается в [2.64].
Из начальных условий видно, что поле Е имеет заданное значение при х
- 0, в то время как в "отдаленном прошлом"
все квантовые осцилляторы находятся на нижнем энергетиче-
ском уровне. Такая совокупность осцилляторов описывает среду, ослабляющую
поле. (Как уже обсуждалось в разд. 2.2.1, в усиливающей среде большая
часть осцилляторов первоначально находится в верхнем состоянии, что
позволяет полю извлекать энергию из среды и усиливаться.)
Временно фиксируем координату х = х0> 0 и рассмотрим огибающую
электрического поля Е в точке Хо как функцию времени t. Поле Е является
локализованным импульсом; следовательно, для больших отрицательных времен
поле пренебрежимо
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
101
мало в точке х0, поскольку импульс еще не дошел до нее. Для таких
отрицательных времен двухуровневые осцилляторы вблизи лги остаются в
нижнем состоянии, а их поляризация нулевой. При увеличении времени поле Е
достигает точки х0 и в силу взаимодействия (2.80Ь) возбуждает верхние
уровни квантовых осцилляторов вблизи хо. Потом при больших положительных
временах поле в точке х0 вновь делается нулевым, поскольку локальный
импульс Е уже миновал, и квантовые осцилляторы вблизи х0 остаются в
состоянии, являющемся смесью двух уровней ')
/Л(/, х0; ?)\_ Е-НЪ х0)е "С* \ ^ (2.83)
\B(I, х0\ V а(?; ха)е*< )
Здесь коэффициенты (а и 5) определяются видом импульса Е\ однако
поскольку величина |Л|2-)-|В|2 является константой по t (сохранение
вероятности), она должна быть равной своему начальному значению 1, что
налагает на коэффициенты а и 5 ограничение
I а. (?; х0) |2 +1 5 (?; х0) Р = 1. (2.84)
Отметим, что после прохождения импульса через точку Хо поляризация Я =
2г?>а*ехр(- 2г?/) осциллирует по t; среда "звенит". Этот "звон" является
возбужденным состоянием среды. Поскольку энергия всей системы (поле плюс
среда) сохраняется, то приращение энергии среды должно происходить из-за
потери энергии полем. В самом деле, закон сохранения
dt(N(t, x)) + \dx\E(t, х) |2 == 0,
немедленно вытекающий из (2.80), (2.82), дает такой баланс. Здесь \E(t,x)
|2 представляет собой плотность энергии поля, тогда как чиело инверсий N
- это приращение энергии среды сверх энергии основного состояния.
В последнем абзаце мы описали типичную ситуацию; однако можно представить
себе такие специальные импульсы, которые, проходя через точку х0,
