Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Gordon в качестве модели нелинейной теории поля, поскольку лишние степени
свободы являются возможным источником спектра масс (см. [2.32], [2.33],
[2.67]).
В общем случае осцилляторы, входящие в наш измерительный прибор при х ==
0, после прохождения импульса не все вернутся в основное состояние, но
останутся "звенеть" в некотором смешанном состоянии. В этом общем случае
структура решения может все же быть получена при помощи уравнений
Марченко. Хотя R{l,x) и не равно нулю, в ядре R все же доминируют
дискретные составляющие, поскольку дискретная сумма экспоненциальна при
больших х, в то время как вклад от непрерывного спектра много меньше.
(Для большинства функций распределения g этот вклад экспоненциально мал в
большинстве областей пространства. В худшем случае он убывает степенным
образом.) Таким образом, для больших х общий импульс Е распадается в
сумму солитонов и бризеров, упорядоченных по скорости, а также
затухающего вклада от непрерывного спектра, единственное реальное
значение которого состоит в том, чтобы обеспечить причинность [2.43]. Но
гораздо более важной характерной чертой поля Е в ослабителе является
наличие дискретных составляющих. (В усиливающей среде непрерывные
составляющие более существенны. В этом случае могут оказаться полезными
различные асимптотические вычисления [2.25, 2.27, 2.28], использующие
метод стационарной фазы.)
2.3.3. Гамильтоново описание и интегралы движения
Системы, допускающие солитоны, обладают бесконечным семейством законов
сохранения. Эти сохраняющиеся величины могут быть использованы [2.68] для
предсказания прямо по начальным данным скорости солитонов, возникающих в
итоге из этих начальных данных. Такое применение законов сохранения было
весьма полезно для интерпретации первых численных результатов в квантовой
оптике самоиндуцированной прозрачности. Позднее было показано, что
бесконечное семейство законов сохранения является проявлением полной
интегрируемости нелинейной системы [2.69-2.71]. В этом последнем разделе
мы обсудим связи между физической информацией, полученной из законов
сохранения в первых исследованиях, и математически точной формулировкой,
использующей обратную задачу рассеяния для демонстрации полной
интегрируемости уравнений движения.
108
2. Аспекты солитонной физики
Напомним некоторые свойства вполне интегрируемых конечномерных
гамильтоновых систем. Пусть S2n обозначает 2/г-мер-ное фазовое
пространство; рассмотрим гамильтонову систему на S2n, порожденную
гамильтонианом Н: S2n -*¦ R,
где 2 = (Q, Р) е S2n, матрица Т = . и / обозначает
единичную п X д-матрицу. Интеграл движения Е для этой гамильтоновой
системы есть вещественная функция на фазовом пространстве, Е: S2n-*-R,
постоянная вдоль интегральных кривых системы (2.90), т. е. если z{t)
обозначает решение системы (2.90), то E(z(t)) не зависит от времени t.
Гамильтонова система в S2n называется вполне интегрируемой, если она
обладает п интегралами движения {?ь Е2, ..., Еп}, которые образуют
независимое семейство, причем любые два члена этого семейства находятся в
инволюции ') [2.72, 2.73].
Вполне интегрируемые системы обладают многими замечательными свойствами
[2.73, 2.74]. Интегральные кривые лежат на поверхностях {?; = const, ? =
1, 2, ..., л}, которые в том случае, когда они компактны, являются
(топологически) л-мер-ными торами (л-мерными поверхностями в фазовом
пространстве 52л). С этими торами непосредственно связана координатная
система (0,/), получающаяся из координат (Q,P) каноническим
преобразованием [2.73]. Действительно, поверхности / = const, т. е. {/i =
Ci, J2 = С2, ..., J" = Сп} для констант (Ci, С2, ..., С"} в точности
определяют эти торы. Переменные действия (/) нумеруют торы, в то время
как угловые переменные (0) задают положение фазовой точки на этих торах.
Поскольку гамильтонов поток (2.90) оставляет эти торы неизменными,
переменные действия / должны быть интегралами движения для этой
гамильтоновой системы. Аналитически это выражается в том, что
гамильтониан Н, выраженный через переменные (0,/), зависит только от / и
не зависит от 0. Поскольку отображение (Q, Р)->-(0,/) каноническое,
уравнения движения запишутся в виде
¦) Вещественные функции {Я], ..., Е"} на фазовом пространстве образуют
независимое семейство, если градиенты этих функций лнейно независимы.
Говорят, что две функции Е и F находятся в инволюции, если их скобки
Пуассона равны нулю,
(2.90)
п
iE,Fh = (^E,nzF) = YJ\
Ь_ 1 *-
дЕ 3F дЕ
dQk dPk dPk dQt
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
109
Заметьте, в частности, что J - 0 и что со = V/// есть функция только от
/; следовательно, 0* растет линейно по t с коэффициентом со*. Более того,
поскольку переменные 0 являются угловыми переменными на торе, величины
{со/, /= 1, 2, ..., п} представляют собой частоты. Таким образом,
показано, что движение в фазовом пространстве квазипериодично по t с
базисными частотами со = V/Я. Квазипериодичность довольно регулярна;
