Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 42

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 156 >> Следующая

модели причиной возникновения нелинейности. Вспомним, что совокупность
диполей, ' индуцированных электрическим полем, должна быть ориентирована
так же, как и поле. Тепловое возбуждение препятствует- этому процессу
ориентации. Мы предположим, что установилось тепловое рав-
2.2. Модель нелинейной системы
93
новесие, и используем технику Густафсона и др. [2.49] для
того, чтобы вычислить среднюю поляризацию. Энергия и одного из таких
индуцированных диполей в Е-поле имеет вид
и = - Р+ • Е = G cos2 0?2.
Если рассмотреть случай, где процесс ориентации происходит медленно (по
сравнению с масштабом <М), то можно усреднить по периоду быстрых
осцилляций
t+T
й = у- j dt'и (х, t') = jG cos20(?* + ?2).
t
Используя й, определим оператор <•) при помощи функции
распределения Больцмана
1
J f (0) exp [- й (0)] d (cos 0)
</( • )) = :±^----------------------(2.38)
^ exp [- й (0)] d (cos 0)
-1
Так определенный оператор <•> приводит к макроскопическому полевому
уравнению
(dtt - с2дхх) E - G (cos2 ( • )) Е, (2.39)
где
1
^ cos2 0 exp cos2 0 (?2 + ?2)j d (cos 0)
(cos2 ( • )) = -^-i-------------------------------------
^ exp cos2 0 (e2c + я2)] d (cos 0)
-l
При не слишком больших амплитудах поля можно разложить эти экспоненты и
записать <cos2(-)> в виде
(cos2( • )) ~ 1 -f G (?2 4- ?2).
Осталось найти дисперсионное соотношение и получить уравнение для
модуляции огибающих Ес и ?s. В комплексной записи полевое уравнение
(2.39) принимает вид
[(<Э" - с2дхх) + G, - С2 (??*)] F = 0, (2.40)
где F = ?ехр [i{kcx - <М)], и ? = (?s-f t?c). Из (2.40) немедленно
получаем, что дисперсионное соотношение с учетом
нелинейной поправки имеет вид
(c)2(/г) = c2k2 +Gl(k)-[G2(k)\ FF\ (2.41)
94
2. Аспекты солитонной физики
Последним шагом в схеме аппроксимации является сведение уравнения (2.40)
к уравнению, описывающему модуляцию по F. Для такого сведения мы
предположим, что нелинейность слабая. Если бы ее не было вовсе (С2 = 0),
то линейное поле F = Fexp [i{kcx - (c)с0] можно было бы разложить в
интеграл Фурье,
F (х, t) = F (х, t) el IV-VI = J dke' lkx~&(k) <]F (k),
или, по-другому, делая замену переменных интегрирования ki-ж - k - kc,
F(х, t)-^d%exp(/{их - [(c)(kc + и) - (c)c]/})F(kc + и).
Поскольку амплитуда F(x,t) является медленно меняющейся функцией, от х и
/, то F (kc + и) имеет резкий максимум вблизи значения и = 0,
F (х, t) ~ ^ dx exp {/ [их - ((c)'и + ¦- и2 + ...) /}F (kc + и).
Из этой формулы ясно, что огибающая F должна удовлетворять уравнению
[i (д, + й'едх) + дхх + ... ] F = 0. (2.42)
Уравнение (2.42) в действительности является общим результатом [2.4]. В
отсутствие резонанса модуляция амплитуды любой линейной диспергирующей
волны, состоящей из быстро осциллирующих колебаний с медленно меняющейся
огибающей, удовлетворяет линейному уравнению Шрёдингера, Поскольку наша
система слабо нелинейна, нелинейные поправки к дисперсионному соотношению
(2.41) дают
- //
i (dt + &'сдх) F+^-dxxF + G (FF') F = 0. (2.43)
Следует подчеркнуть, что область применимости нелинейного уравнения
Шрёдингера гораздо шире рассмотренной сейчас модели. Оно применимо к
любой слабо нелинейной волне, удовлетворяющей условиям, суммированным в
предыдущем абзаце. В силу своей общности оно возникает в различных
физических ситуациях, таких, как распространение оптических импульсов
[2.50], волн на воде [2.51] и волн в плазме [2.52j. Оно актуально и в
технических приложениях, так как моделирует эффекты самофокусировки
лазерных импульсов [2.50].
Чтобы получить некоторое представление о солитонах нелинейного уравнения
Шрёдингера, рассмотрим его решение типа
2.2. Модель нелинейной системы
простой волны вида
F (х, t) - f{x - Ы) ехр [/ (/Сл: - Q/)].
Подставляя это выражение в нелинейное уравнение Шрёдин-гера (2.43),
получаем
г-"г ° г+(?-":;^),.1 ,2.44)
df 12ис J
при условии, что скорость импульса v удовлетворяет соотношению
v = &'c + Ka". (2.45)
Если (с/о") > 0, решение уравнения (2.44) имеет вид
F = Fssech(--ехр [г (/(* - Q0]"
где v дается выражением (2.45), й = К<Ь'С + К2(r)"/2 - GF\j2, и F'j =-
a'/Gv2т2. В этом случае огибающая поля имеет форму секанса
гиперболического с амплитудой Fs и полушириной т. Такой импульс
представляет собой сгусток поля, распространяющийся с постоянной
скоростью и, причем его несущая частота и длина волны сдвинуты на Q и К
соответственно.
С другой стороны, если (G/ю") < 0, амплитуда F принимает
вид
F = Fs th (exp [/ (Кх - Q/)],
где v дается выражением (2.45), Q = /(ш' + /(2ю''/2- GF2s/2, и F2 = -
<b"/Gv''-т2. В этом случае поле выталкивается из рассматриваемой области,
и образуется темное пятно полуширины т, распространяющееся с постоянной
скоростью v [2.53].
В обоих случаях (g/юс > 0 и G/ю" < 0) это уравнение имеет также и
многосолитонные решения. Оба случая решаются методом обратной задачи
рассеяния [2.23, 2.54].
Нелинейное уравнение Шрёдингера очень важно, и трудно ограничиться лишь
несколькими замечаниями о нем. Мы хотим только указать, что это уравнение
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed