Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 40

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 156 >> Следующая

лульсы. Подчеркнем, что рис. 2.1, иллюстрирующий теорему площадей,
относится только к общей площади импульса и не дает детальной информации
о его точных размерах. Например, теорема площадей не предсказывает
возможный распад импульса щ несколько импульсов с той же общей площадью,
88
2. Аспекты солитонной физики
Аналитические выражения для всевозможных 2Мя-импуль-сов могут быть
выведены различными методами. Эти выражения для 4я- и я-импульсов впервые
были получены при помощи техники, развитой Баргманом для построения
безотражательных потенциалов в квантовой теории рассеяния. Поскольку
баргма-новские потенциалы представляют собой класс простейших решений
интегральных уравнений обратной задачи рассеяния, эти результаты,
конечно, можно получить также методом указанной задачи. Различные его
приложения были развиты с тех пор для нужд рассматриваемой проблемы
[2.18, 2.43]. Мы обсудим метод обратной задачи в разд. 2.3.
Случай II. Уравнение sine-Gordon (резонанс без расширения)
Хотя система (2.8) хорошо описывает распространение когерентных
оптических импульсов в среде с неоднородным ушире-нием, существенная
нелинейность процесса распространения может крайне просто быть
продемонстрирована, если пренебречь доплеровским сдвигом и изменением
фазы (т. - е. если положить g(Aw) = 6(Аы) и ф = 0). В этом пределе мы
получим
д? г' (2.16)
д-с (2.17)
§3 1 II §1* (2.18)
где т = t - х/с, и | = а'х. Эти уравнения имеют первый интеграл Р2-}-
А2=1; константа интегрирования выбирается исходя из начальных условий N(-
1,-оо)= ±1. Как и в уравнении (2.13), верхний знак относится к усилителю,
нижний - к ослабителю. В терминах параметрического представления
Р = ± sin а, (2.19)
N = ± cos а
получаем,что с да Е==Ж' (2.20)
да . ,е , - = ± sin а. дт (2.21)
Итак, в предельном случае отсутствия эффекта Допплера систему уравнений
Максвелла - Блоха можно свести к единственному нелинейному
дифференциальному уравнению в частных производных, известному как
уравнение sine-Gordon. Это уравнение возникло давно в дифференциально-
геометрических
2.2. Модель нелинейной системы
89
исследованиях; известны многие его частные решения. Перед тем как их
обсуждать, разберем решение типа простой волны. Хотя это решение не несет
информации об эффектах, возникающих из-за взаимодействия солитонов, при
экспериментальном изучении распространения когерентных импульсов в первую
очередь требует внимания именно оно. Решение, зависящее только от
комбинации {ах-?/я), находится из соотношения
а" = sin а, (2.22)
еде штрих обозначает дифференцирование по ах-l/а, и в уравнении (2.21)
берется только нижний знак. (Уединенная волна устойчива только в
ослабителе.) Хотя можно рассматривать разные решения уравнения (2.22),
наиболее важным в задаче распространения импульсов является
односолитонное решение
а - 4 arctgexp(ar - 1/а). (2.23)
Поскольку Е = (хт, то
Е (?, т) = 2a sech (ат - ?а). (2.24)
Аргумент функции sech можно записать в виде a(t - x/v), где
1 = 1 _Д1
v с а2 '
(2.25)
что согласуется с соотношением (2.10) в предельном случае отсутствия
неоднородного расширения. Отметим здесь, что площадь под этим импульсом
имеет вид
ОО
^ dxE(l, т) = 2я, (2.26)
- оо
так что в этой модели решение (2.24) снова есть 2л-импульс.
(Эквивалентно, 0 меняется на угол 2л, когда импульс проходит данную точку
в пространстве.)
Профиль типа гиперболического секанса характерен для распространения
солитонов. Однако метод, которым он был здесь получен, не позволяет
проанализировать более специфические особенности распространения
солитонов. Характерные черты такого распространения проявляются при
взаимодействии таких импульсов при прохождении их друг через друга.
Для рассмотрения взаимодействия импульсов требуются более сложные методы
получения решений уравнения sine-Gordon
(2.21). Много внимания было уделено в последние годы построению таких
решений. Здесь мы рассмотрим только старейший метод, основанный на
преобразованиях Бэклунда. Уравнение
(2.21) возникло в классической дифференциальной геометрии 12.44]; этот
метод получения его частных решений был найден
конце прошлого столетия.
90
2. Аспекты солитонной физики
Преобразование Бэклунда может быть интерпретировано как отображение,
переводящее одно решение данного уравнения (здесь - уравнения sine-
Gordon) в другое его же решение. Преобразование задается уравнениями
(2.27)
(2.28)
Эти уравнения можно вывести, как показано в [2.46], используя технику
Клерэна [2.45].
Легко показать, что и Сто, и Oi удовлетворяют уравнению sine-Gordon.
Следовательно, по данному решению можно получить новое решение оь
Преобразование можно повторить и получить решение о2 из Oi и т. д. Метод
Бэклунда особенно полезен именно из-за того, что он дает явные выражения
для бесконечной последовательности многосолитонных решений.
Первый шаг в этом процессе образования решений известен как теорема
перестановочности, записываемая в виде
iff - q° = а1 ~Ь Да 1 сг 1 - <72
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed