Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
" 4 at -• а2 " 4
(2.29)
Здесь Oi и 02 - частные решения, порожденные из Сто при помощи
соотношений (2.27), (2.28), где а\ и а2 - соответствующие константы
преобразований. Новое решение есть о3. Например, если в качестве о0 взять
нулевое решение, Oi и о2- одно-солитонные решения вида (2.23), то (2.29)
дает
О, - t>2 '
о3 = 4 arctg
/ а | 4~ аг Л V а( - а2 /
sh ¦
ch
v, + v2
2 J
где
vt
¦ а,т ¦
t/ai,
1, 2.
(2.30)
(2.31)
Соответствующее электрическое поле может быть записано в виде
Д] sech X - а2 sech Y
1 - В (th X th К - sech X sech Y)
где
-?¦
¦an
2 . 2 a, + a2
B =
'1 " "2 2 a,a2
2 . 2 1 at + a2
X = al(t - x/vY), Y = a2(i - x/v2).
(2.32)
(2.33a)
(2.33b)
(2.33c)
(2.33d)
2 2. Модель нелинейной системы
91
Техника преобразования Бэклунда использовалась для описания взимодействия
трех импульсов [2.18], а также шести импульсов [2.47].
Система, далекая от резонансной (нелинейное уравнение Шрёдингера)
После рассмотрения электрического поля вблизи резонанса С двухуровневыми
осцилляторами, мы перейдем к случаю, где Поле и осцилляторы далеки от
резонанса. Типичной физической ситуацией является среда, состоящая из
совокупности длинных Тонких сигарообразных молекул. Первоначально эти
молекулы ориентированы случайно из-за "теплового возбуждения". Если
каждая молекула способна поляризоваться, то интенсивное высокочастотное
электрическое поле будет 1) индуцировать поляризацию каждой молекулы и 2)
ориентировать образующиеся микроскопические диполи. Хотя тепловое
возбуждение препятствует такому процессу ориентации, в целом результатом
описанного процесса будет все же индуцированная микроскопическая
поляризация среды. Такие "эффекты Керра" [2.40-2.42, 2.48] для огибающей
поля приводят к самофокусировке, автомодуляции и т. д.
Совокупность двухуровневых осцилляторов можно взять в качестве грубой
модели такой среды, если каждому осциллятору помимо его координаты х
приписывается единичный вектор р (описывающий ориентацию этой
"сигарообразной молекулы"). Далее, мы предположим, что для осциллятора,
ориентированного в р-направлении, индуцированный микроскопический
дипольный момент в точности ориентирован в том же направлении. При
сделанных предположениях система Максвелла- Блоха (2.5) по-прежнему
описывает динамикуN ((; х, р), Р±(/; х, р) и Е (х, t).
В нескольких ближайших абзацах мы получим аппроксимацию системы Максвелла
- Блоха, пригодную для большинства физических ситуаций. В этой схеме
аппроксимации первым шагом является вычисление нерезонансного отклика
двухуровневой "молекулы" на быстроосциллирующее электрическое поле. В
результате этого отклика индуцируются микроскопические диполи, и
следующим шагом является определение подходящего оператора <•>,
переводящего эти индуцированные диполи в макроскопическую поляризацию.
Наконец, мы вычисляем модуляцию амплитуды электрического поля,
возникающую из-за индуцированной поляризации. В этих вычислениях мы не
будем стараться проследить за всеми константами; вместо этого на каждом
шаге мы будем включать их в некоторую константу G,
92
2. Аспекты солитонной физики
Прежде всего предположим, что при усреднении любая компонента
микроскопических диполей, перпендикулярная приложенному полю, дает нуль.
Другими словами, мы предположим, что индуцированная макроскопическая
поляризация направлена одинаково с приложенным полем, так что Е,
первоначально направленное в z-направлении, сохраняет свое направление и
в дальнейшем. Далее, для простоты мы положим N = -1 и приведем систему
Максвелла - Блоха к более простому виду
днР+ = - <й2Р+ + (cos 0) Е, (2.34а)
(dit - с2дхх) Е = G (<7(c)2(cos0)P+ - (c)<72(cos20)E), (2.34b)
где E = Ez, <7 = lq|, и cos0 = q*z. Система (2.34) эквивалентна
совокупности классических гармонических осцилляторов, взаимодействующих с
электрическим полем, т. е. модели, являющейся основой теории дисперсии
Лоренца. (Более тщательный учет величины N лишь изменил бы значение
коэффициента при нелинейности. Вспомним, что в случае самоиндуци-рованной
прозрачности наличие резонанса требовало от нас весьма тщательного учета
динамики среды. Здесь, поскольку система далека от резонанса, точная
модель среды гораздо менее важна. Для качественных оценок достаточно
линейных осцилляторов.)
Рассмотрим поле Е вида
Е = Ес cos (kcx - <bj) + Es sin (kcx - aj), (2.35)
где амплитуды (Ec и Es) являются медленно меняющимися
функциями (в масштабах несущей частоты kcx и (r)ct). Здесь a>c = <b(kc) -
закон дисперсии полной линеаризованной системы, который будет вычислен
ниже. Чтобы подсчитать индуцированную поляризацию Р+, нужно подставить
медленно меняющиеся амплитуды Ес a Es в (2.34), считая их постоянными;
поскольку поле Е не находится в резонансе со средой, будем иметь
Р+ ~ -f?C-0S%r Е. (2.36)
А (от - <0')
Подставляя это приближение в (2.34Ь), получаем уравнение для Е
(dtt - с2дхх) Е = G <(cos20) Е). (2.37)
Далее, мы уточним выбор микро-в-макро оператора <•>, являющегося в этой
