Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
исследований общих свойств солитонов в нелинейных волновых уравнениях с
дисперсией. Другие ссылки можно найти в [2.8]. Не повторяя обсуждения
этих общих свойств в настоящей статье, мы проиллюстрируем на примерах
некоторые связи между физическими нелинейными системами и теми
солитонами, которые в них возникают. Мы рассмотрим несколько конкретных
систем, линейных в отсутствие взамодей-ствия. В разд. 2.2.1
рассматриваются некоторые примеры взаимодействия электрического поля с
совокупностью двухуровневых атомов. Будет показано, что в различных
случаях это взаимодействие порождает солитоны самоиндуцированной
прозрачности и солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера. В разд. 2.2.2
разобран один случай взаимодействия электромаг-
') См. также статью Q. П. Новикова р настоящем сборнике, - Приц, перед,
2 2 Модель нелинейной системы
81
нитных волн с плазмой, при котором возникают солитоны для уравнения
Кортевега - де Фриза. В разд. 2.3 взаимодействие системы двухуровневых
атомов с электрическим полем используется для того, чтобы ввести и
обосновать метод обратной задачи рассеяния. В конце статьи обсуждаются
связи между этим методом и "высшими законами сохранения"; последние,
будучи сохраняющимися величинами, сыграли важную роль на начальной стадии
развития теории уравнения Кортевега - де Фриза и уравнения
самоиндуцированной прозрачности.
2.2. Модель нелинейной системы
Уравновешивание дисперсии и слабой нелинейности является общим физическим
процессом, возникающим в самых разнообразных физических приложениях
[2.5]. Физические ситуации, "приводящие к такому равновесию, можно
разбить на несколько категорий, каждая из которых может быть неформально
охарактеризована весьма общими физическими принципами [2.10, 2.34]. Тем
самым для описания динамики разнообразных физических систем достаточно
относительно короткого списка уравнений. Хотя формулировки, определяющие
эти категории, могут показаться весьма неточными, они охватывают
большинство нелинейных диспергирующих консервативных систем, обсуждаемых
в современной литературе.
Чтобы проиллюстрировать типичные категории, мы рассмотрим консервативную
диспергирующую слабо нелинейную волну, состоящую из быстрых осцилляций с
медленно меняющимися амплитудой и фазой. Эти медленные модуляции могут
описываться одним из вариантов нелинейного уравнения Шрёдингера, если
выполняются следующие условия: I) частота несущих осцилляций очень
велика, II) в системе нет резонансных эффектов, и III) нелинейность
становится существенной на пространственных и временных интервалах,
больших по сравнению с длиной волны и периодом осцилляций. При наличии
резонансных эффектов модель делается более сложной; например, если
резонанс происходит между несущими осцилляциями и средой, в которой
распространяется волна, в уравнениях нужно учитывать также свойства этой
среды. Часто микроскопическая среда описывается квантовомеханически, при
помощи такой формы совместных уравнений Максвелла - Шрёдингера, как
уравнения Максвелла - Блоха. Наконец, при наличии более чем одной несущей
волны следует использовать подходящее N-волновое ¦обобщение [2.35, 2.36].
Совсем иная группа моделей, резко отличная от предыдущей, основана на
законах сохранения механики жидкости. В этом случае слабая нелинейность,
уравновешиваемая дисперсией, приводит к уравнению Кортевега - де Фриза.
82
2. Аспекты солитонной физики
Для того чтобы проиллюстрировать, как возникают описанные выше различные
категории, мы разберем несколько весьма специфических моделей нелинейных
систем и используем приближения, сводящие "точные системы" к одной из
этих категорий. Такая процедура сведения даст нам конкретное
представление о типах аппроксимации, характерных для различных классов. В
разд. 2.2.1 мы опишем взаимодействие электрического поля с двухуровневой
средой и разберем два случая: один - вблизи резонанса, другой - вдали от
резонанса. В качестве примера из механики жидкости мы рассмотрим
специальный случай взаимодействия электрического поля с ионами плазмы.
2.2.1. Взаимодействие электромагнитного поля с двухуровневой средой
Общая конструкция
Рассмотрим быстро осциллирующую электромагнитную волну,
распространяющуюся в некоторой среде. Очень простой идеализированной
моделью, описывающей такое распространение, является взаимодействие
классического электрического поля с совокупностью квантовых осцилляторов.
Динамика каждого осциллятора описывается уравнением Шрёдингера, которое
для двухуровневого атома принимает вид [2.37-2.39]
"<)-(Се !>)("> (2,)
% - h/2л (нормированная постоянная Планка). Здесь а и р-амплитуды
вероятностей соответственно верхнего и нижнего состояний. Эти два
состояния отличаются на энергию Йш. Каждый осциллятор взаимодействует с
электромагнитной волной Е как диполь, и параметр q представляет собой
дипольный матричный элемент.
Поле Е направлено вдоль оси z и представляет собой почти плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси х. Оно удовлетворяет уравнению Максвелла
