Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
доложил о решении уравнений СИП методом обратной задачи рассеяния (см.
гл. 2).
В Манчестере мы также изучали ультракороткие оптические импульсы и ранее
[1.129] отметили столкновительные свойства решений уравнений Максвелла -
Блоха (МБ), имеющих форму гиперболического секанса (типа уединенной
волны). Здесь мы пользуемся обозначениями СИП и МБ, введенными для
соответствующих уравнений в работе [1.130]. Лэм и Маклафлин в гл. 2
называют уравнения СИП уравнениями Максвелла Блоха. Теперь известно
[1.131], что уравнения МБ в том виде, в котором они были определены в
[1.130], не являются интегрируемой системой и не имеют точных солитонных
решений в смысле разд. 1.2.
В 1972 г. Гиббон и Эйлбек [1.132] предположили, что существует JV-
солитонное решение уравнений СИП для острорезонансного случая. Эти
уравнения эквивалентны СГ-уравнению и связаны с редуцированными
уравнениями Максвелла - Блоха (РМБ) [1.64, 1.133]. Уравнения РМБ имеют
вид
46
1. Солитон и его история
они были решены Кодри и др. [1.82] с помощью подстановки типа Хопфа -
Коула
E = 2g/f, г = 2h/f, ?2*=-^-1п/, (1.93)
которая непосредственно дает
82 0-94)
При этом уравнения РМБ дают еще два однородных уравнения для /, g и h.
Теперь решение можно получить [1.82], предположив, что оно имеет вид
/ = detMi/,
Мц= _|_ ЕI ch + (r)/)]"
0/ = (s)jt - kjX -\- bj. (1.95)
Сходство с решением (1.22) СГ-уравнения в лоренц-ковариант-ной форме
очевидно. Отметим, что по крайней мере для р = О уравнения (1.92)
решаются подстановкой и = cos <р, s = -sin <p, где ф( = Е, г = 0, дающей
Фх/+. Фм = - о sin q>. (1.96)
Отсюда получаем СГ-уравнение (1.10) заменой ? = V"(^- 2х), т] = Уа/, ?-
>х, т) ->/. Поэтому решение (1.95) с необходимостью содержит решение СГ-
уравнения (1.10).
Краткое сообщение о решении (1.95) появилось в начале 1973 г., а затем
было опубликовано гораздо более подробное изложение [1.82]. Хирота [1.81]
независимо опубликовал свое решение СГ-уравнения, также найденное прямыми
методами, в конце 1972 г. АКНС опубликовали свое решение СГ-уравнения
методом обратной задачи рассеяния в 1973 г. [1.98] и впоследствии в том
же году дали обобщение [1.44, 1.45] схемы обратной задачи рассеяния
Захарова и Шабата [1.38, 1.109]. Уравнения РМБ (1.92) были решены этим
методом в конце 1973 г. [1.133]. Применение уравнений РМБ в теории СИП
описано, например, в [1.130]. Более подробно их приложения и каноническая
структура рассматриваются в [1.64].
Наиболее естественным путем можно было бы, как теперь стало понятно,
прийти к предложенной АКНС схеме обратной задачи рассеяния для СГ-
уравнения, отправляясь от АПБ (1.38). Пусть Г = tg [ (и + и') /4]. Тогда
Г, я = ±их(1 + П + кГ,
Гг, = k 'Г cos и - {2k)(l - Г2) sin и.
(1-97)
1.6. Открытие других N-солитонных решений
47
Преобразование Риккати Г = v2vx 1 дает
\v2,x у
1 и 1
(У-
к + +ТЛ .
7 у1, A J /cos и Sin И Ч/уА
V v2. t У 2* V sin и - cos и ) V у2 / "
(1.98)
(1.99)
Именно такое сочетание задачи рассеяния и задачи Коши использовали АКНС
для решения СГ-уравнения (1.11а) обратным методом (если k в этих формулах
рассматривать как собственное значение k = 2it,). Затем АКНС обобщили
свой метод [1.39, 1.40], распространив его на уравнения рассеяния и
эволюционные уравнения вида
Ly =?у,
~ ^ id/dx
Av = vt, А-
ir
(с
~iq \ - д/дх У'
)•
д/дх В А
(1.100)
(1.101)
где А, В, С, q и г выбираются так, чтобы при ?* = 0 выражение Lt = [A, L]
было требуемой парой эволюционных уравнений qt = Ki Iq, r], rt - K2[q, r]
(в которых Ki\q, r] есть функционал от двух потенциалов q, г). Уравнения
(1.101) и (1.100) сводятся к (1.99) и (1.98), если k = 2it,, r - -q - -
их/2 и А = = (i/4^) cos и, В = С = (t'/4?)sin и. При симметрии г = -q
собственные значения связанных состояний неэрмитова оператора
(1.100) лежат на мнимой оси ? = it] (rj > 0) или располагаются парами
(?,-?*) в верхней половине плоскости ?. В случае СГ-уравнения они связаны
с 2п-кинками и бризерами соответственно. (Заметим, что, как мы и
предчувствовали, в случае q = г*, например, для уравнения uxt = sh и,
оператор С эрмитов и возможны лишь вещественные собственные значения.
Тогда нет ни связанных состояний, ни солитонов, ни бризеров. Уравнение
sh-Gordon обладает АПБ [1.50, 1.54], но у него нет солитонных решений
даже несмотря на то, что и = 0 есть решение.)
Мы не будем обсуждать обобщение АКНС как таковое более подробно,
поскольку Ньюэлл в гл. 6 излагает соответствующую теорию в целом. Стоит
отметить, однако, что хотя операторы А и С удовлетворяют уравнению
лаксовой пары типа (1.86Ь), но С здесь, как мы видели, в общем случае
неэрмитов, тогда как А не обязательно кососимметричен, не является
дифференциальным оператором и зависит от собственного значения ?. Таким
48
1. Солитон и его история
образом, если I) [А, ?] = Д, II) Lv = III) ?* = 0, то C(Av - - vt)=t>(Av
- vt) и Av - vt является собственной функцией, отвечающей ?, т. е. Av -
vt = X{t)v, или X(?) = 0. Легко убедиться, что ?-1 в А действует как
