Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
решения могут появиться. В частности, при п = 3 (Оз-инвариантная модель)
эта система включает уравнение sine-Gordon, имеюшее солитонные решения с
конечной энергией (кинки).
В конусных переменных ?=(/ + *)/2, t] = (/ - х)/2 рассматриваемое
уравнение при п = 3 имеет вид
+ ч-<*¦*.?">• 0-113)
Сохранение энергии и импульса означает, что
Ж<=^*1 = 0' (1Л14)
и масштабную инвариантность можно нарушить, деформировав обе конусные
переменные таким образом, чтобы q2 и q| отвечали условию нормировки
Ч?| ~ q|= 1 • (1-П5)
Введем теперь локальную систему координат q, q^, q^ так, чтобы q было
ортогонально q^ и qn, но q^ и q" образовывали от-
1.6. Открытие других N-солитонных решений
53
личный от прямого угол:
= cos д. (1.116)
Из уравнения (1.113), условия нормировки (1.115) и определения (1.116)
получим
д2и
<3т1<3?
' - sin и (Ы17)
(знак минус получился вследствие выбора г) = (/ - х)/2 вместо (А--0/2).
Полмайер [1.86, 1.141, с. 339-355] линеаризовал систему (1.112) (т. е.
нашел спектральные преобразования) для случаев п 6 и при п = 4, нарушив
масштабную инвариантность согласно (1.115), получил уравнения движения в
двух полях а, р
Ч" + sin а + -~f~~ №, - О,
sin а 4 '
Они сводятся к СГ-уравнению (1.117) при р = 0. Полмайер [1.86] заметил,
что уравнения (1.118) суть условия погружения двумерной поверхности в
трехмерную сферу, в свою очередь погруженную в четырехмерное евклидово
пространство. Лунд
[1.48] независимо получил те же самые уравнения движения, исходя из
именно этой точки зрения.
Поскольку его рассуждения создают геометрическую основу спектральных
преобразований в рассмотренном им случае, мы здесь еще немного коснемся
этого вопроса. Наши краткие замечания следуют обзору Лунда [1.142], и там
читатель может найти подробности.
Рассмотрим задачу о погружении n-мерной поверхности Vn в (п+ 1)-мерное
евклидово пространство Е:
Е = х1 (г = 1, 2, ..., п + 1),
Vn = yv' (|i = l. 2, .... п). (1.119)
На Vn задана метрика ds2 = giivdy^dyv. Погружение является изометрическим
(сохраняет тензорные произведения), если Vn можно так определить формулой
х1 = х'(ух у11), (1.120)
что guv - (дх1/ду^) (dx'/dyv). Векторы Хц, лежащие в пространстве,
касательном к Vn, и нормаль к поверхности, Хп+и определяют
базис в Е, Х^ = дх/ду^, Хп+\. Выражение векторов
dX^/dyv, dXn+i/dyv через этот базис образует линейную систему
84
1. Солитон и его история
уравнений Гаусса - Вайнгартена [1.143]. Условия интегрируемости
d2X/dyvdya = d2X/dyadyv (для всех пар у°, yv) приводят к нелинейной
системе уравнений Гаусса - Кодацци [1.144].
Для двумерной поверхности с некоторой конкретной Метрикой, погружаемой в
трехмерное евклидово пространство, Лунд [1.48, 1.142] нашел уравнения
Гаусса - Кодацци, эквивалентные (1.118)1) и имеющие вид
-щ (ctg- ей.*) + -щ- (ctg2 0й.|) = о,
01,-у sin 20 + ***," = о (1.121)
(из сравнения с (1.118) очевидно, что 0 = а/2, X = 2р и ц = = (х- t)/2).
Соответствующая система Гаусса - Вайнгартена есть
(vx ,(Л/-г? + Ф Я УоЛ
V v2,, J V -Я* % - ip J\v2J'
здесь р= [ (cos 20) /2 sin2 6]A.g, q = - 06 + i ctg X%, r ={ 1/4?)X
Xcos20-(sin2 б)-1^,, s =(l/4?)sin20. Собственное значение было введено с
учетом инвариантности (1.121) относительно преобразования Ли (что
эквивалентно инвариантности Лоренца - сравните введение этого
собственного значения с собственным значением X, введенным в (1.80)
посредством инвариантности Галилея). Условия (1.121) достаточны и
необходимы для интегрируемости (1.122). Задача рассеяния и временная
эволюция (1.122), однако, те же, что и в обобщенной схеме АКНС
(1.100), (1.101). Насколько нам известно, результаты, сходные с
результатами Лунда и Полмайера, получил также Тахтаджян [1.144].
Рассуждения Лунда [1.142] создают хорошее геометрическое обоснование
схемы обратной задачи рассеяния для СГ-уравнений (1.10) или (1.11) и ее
обобщения на случай двух полей 0; X, т. е. схемы (1.121). Они показывают,
как СГ-уравнения возникают в первую очередь в дифференциальной геометрии
[1.42]; мы уже отмечали это в разд. 1.2. Лэм [1.145] и Лакш-манан [1.146]
различными путями геометрически обосновали метод обратной задачи
рассеяния, а недавно (1979) Сасаки [1.147] показал, что все системы АКНС
представляют поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Его
доказательство кратко и элегантно, и поэтому мы приводим его здесь.
') Необходимо еще одно условие. См. объяснение в "Замечании при
корректуре", помещенном в конце книги.
1.6. Открытие других N-солитонных решений
55
Уравнения рассеяния и временной эволюции АКНС ((1.100) и (1.101))
эквивалентны полностью интегрируемой системе Пфаффа, которую можно
выразить в виде
dv - Qv = 0, Tr {Q} = 0 (1.123)
где Q есть 2 X 2-матрица 1-форм. Условием интегрируемости служит
0 - d2v = dQv - Q A dv = (dQ -- Пдй) v, (1.124)
так что нелинейные эволюционные уравнения L,t - [A, L] эквивалентны
обращению в нуль 2-форм
0 = - QAQ, т. е. 0 = 0. (1.125)
Для дифференциальных "-форм мы используем символ внешнего произведения
