Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
структурам продолжения, то порождается иная иерархия уравнений. Эта
интересная проблема требует дальнейшего изучения. Она ставит любопытные
вопросы, касающиеся иерархий других интегрируемых систем.
Гельфанд и Дикий [1.117] и другие авторы, которых упоминает Манин
[1.118], обосновали применение оператора (1.88). Они показали, как
получить W-солитонные решения уравнения КдФ на вещественной оси - оо < х
< оо, сведя задачу методами алгебраической геометрии к системе линейных
алгебраических уравнений.
Аналогичные, хотя, по-видимому, более трудоемкие методы ввели Матвеев и
Итс [1.119, 1.120] и Дубровин и Новиков с сотрудниками [1.119, 1.120],
чтобы решить уравнение КдФ с периодическими граничными условиями.
Современная версия этого метода описана С. П. Новиковым в гл. 10 2). Лаке
[1.114] привел в 1974 г. плотное множество решений уравнения КдФ с
периодическими граничными условиями, что стимулировало работу [1.121].
Вслед за работой Лакса [1.70] еще две замечательные статьи создали
большую часть того, что теперь называется теорией солитонов. Это работы
Захарова и Шабата [1.38], в которой решено НУШ, и Захарова и Фаддеева
[1.113], где выявлена симплектическая структура уравнения КдФ. Авторы
последней работы показали, что КдФ-это первый ставший известным пример
бесконечномерной полностью интегрируемой гамильтоновой системы, и
отметили, что для него существует бесконечно
+ °°
много первых интегралов /"["] - ^ Ри(и, ux,...)dx (здесь
- оо
Р - это сохраняющиеся плотности, обозначенные в разд. 1.4 как
') См. также [1.172]. Представляют интерес, кроме того, и приведенные там
ПБ.
2) См. примечание на с. 9. - Прим. ред.
44
1. Солитон и его история
Тп). Они использовали гамильтонову форму записи уравнения
которая в работе Лакса [1.70] приведена как принадлежащая Гарднеру.
Захаров и Фаддеев показали, что бесконечная совокупность констант 1п
образует в точности нужное для полной интегрируемости количество
сохраняющихся величин, построив симплектическую форму
и доказав ее инвариантность относительно преобразования к данным
рассеяния (вариации бщ и б2ы должны быть выражены через соответствующие
вариации данных рассеяния); тем самым они показали, что обратное и прямое
преобразования рассеяния суть канонические преобразования к переменным
типа действие- угол (и наоборот), построили гамильтониан, выраженный
через такие переменные, доказали, что этот гамильтониан зависит только от
переменных действия, причем последние являются интегралами движения, и
непосредственно проинтегрировали уравнения движения в указанных
переменных.
Это великолепное исследование является источником большинства
результатов, изложенных в настоящей книге. В частности, изучение
солитонных уравнений как полностью интегрируемых гамильтоновых систем
служит предметом гл. II, написанной Л. Д. Фаддеевым, и большей части гл.
6 (Ньюэлл), а в гл. 2 Лэм и Маклафлин снова вводят каноническую структуру
гамильтониана для нелинейных эволюционных уравнений с соли-тонными
решениями, причем делают это способом, полезным в качестве введения в
последующие главы. Поэтому нет нужды далее развивать здесь эту красивую
тему.
Мы, однако, отметим важную в историческом нлане работу Гарднера [1.122]
(1971 г.), которая содержит результаты, связанные с выражениями (1.89) и
(1.90). Гарднер определил скобки Пуассона для двух функционалов от и,
скажем, К\ и /С2, формулой
Он доказал, что интегралы 1п[и], связанные с плотностями Тп, находятся в
инволюции, т. е. {/", Im}= 0. Мы проследим в другом месте [1.123], как
эти идеи соотносятся с теоремой Фробе-ниуса об интегрируемости, с теорией
внешних дифференциальных форм Картаиа и со структурами продолжения
Уолквиста и Эстабрука [1.61, 1,75, 1.76].
КдФ
Ui дх ди (х) '
д д!3[и]
(1.89)
-фоо х
Q(6,", б2")= ^ dx ^ dy [бщ (х) б2" (г/) - Ь{и{у)Ь2и Д)](1.90)
- 00
- 00
(1.91)
1,6. Открытие других N-солитонных решений
45
Существует естественное обобщение задач рассеяния 2X2, введенных
Захаровым и Шабатом [1.38, 1.109] в 1971 и 1973 гг. для решения НУШ; оно
было найдено АКНС [1.44, 1.45] в 1973 г. Этот шаг был осуществлен лишь
после появления работ Захарова и Шабата, однако нам неизвестно, в какой
степени последние повлияли на АКНС.
1.6. Открытие других ЛДсолитонных решений:
схема задачи рассеяния 2x2 АКНС - Захарова - Шабата и ее геометрия
В 1971 г. Хирота [1.33], впервые применив свой прямой метод, нашел iV-
солитонное решение уравнения КдФ. В 1972 г. Вадати и Тода [1.124]
использовали описанный Гарднером и др.
[1.1] обратный метод для получения JV-солитонных решений КдФ в явном
виде. Затем Вадати [1.125] решил модифицированное уравнение КдФ (1.78) с
помощью схемы задачи рассеяния 2 X 2. В это время Дж. Лэм размышлял над
возможностью связи между КдФ и СГ-уравнениями - идеей, которую он сообщил
нам в Манчестере. В 1972 г. он применил законы сохранения СГ-уравнения
для описания распада импульса [1.126]. В 1973 г. [1.127, 1.128] он
