Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 21

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 156 >> Следующая

интегральный оператор, вычислив [L, А] из (1.98) и (1.99). Получится1)
1
Л]-~^(? ')
i sin и ( (r) _
2- 0 )~
djdx
1
¦д/дЛ
О
lxt
1
2 U
xt
о
= Lt. (1.102)
С другой стороны, из (I), (II) и уравнения Av - vt следует - 0, и эта
деформация является изоспектральной.
Тахтаджян и Фаддеев [1.134] нашли в 1974 г. схему обратной задачи
рассеяния в виде настоящей лаксовой пары для СГ-уравнения (1.10).
Использованная ими пара операторов - это дифференциальные матричные
операторы размера 4X4. Их сингулярный характер вызывает некоторые
трудности [1.135]. Связь между данной схемой обратного метода и схемой
(1.98), (1.99) установил Полмайер (см. с. 320 книги [1.141]). Для СГ-
уравнения, содержащего массу m и имеющего вид
ихх - utt - m2 sin и, (1.103)
Тахтаджян и Фаддеев [1.134] получили замечательное выражение для
гамильтониана. Через безразмерную константу взаимодействия у0 оно
записывается так:
L М
Н - ^ (64т2у^2 + р2)1/2 + ^ (256т2у~2 sin20/. + р2)1/2 +
г=1
/=1
+ оо
+ 5 p(?)K + p2(i)]I/2rfi- (1.Ю4)
Этот прекрасный результат повторно выведен Фаддеевым в гл. 11. При его
получении используется тот факт, что обратные
>) АКНС использовали условие интегрируемости vxt - vtx, чтобы вывести (в
покомпонентном представлении) выражение [A, L]v - Ltv (1). Очевидно, что
лаксова форма Lt-[A, L] (2) следует из него, если (1) справедливо при
всех v и форма (2) не зависит от Рассуждения при выводе формулы (1.102),
по-видимому, ставят вопрос о собственном векторе о, отвечающем значению ?
= 0. С другой стороны, если А есть полином от ?, то ? действует как
дифференциальный оператор, и то же самое справедливо для А,
1.6. Открытие других N-солитонных решений
49
(и прямые) преобразования рассеяния являются каноническими. Мы
впоследствии нашли аналогичное выражение для СГ-уравнения (1.11а) в
конусных переменных и получили (1.105) из него [1.42], используя
каноническую структуру, выведенную из задачи рассеяния 2X2 (1.98). В гл.
11 Фаддеев проводит соответствующие вычисления для СГ-уравнения (1.11а).
Заметим, что гамильтониан (1.104) опять же записан в переменных типа
действие - угол. Его полуклассическое квантование нетрудно осуществить
[1.41, 1.42], поскольку координаты, канонически сопряженные импульсам и
/5/, можно найти с помощью симплектической формы, как указал Л. Д.
Фаддеев. Полученный результат в точности совпадает с тем, который Дашей,
Хасслахер и Невё (ДХН) [1.40] получили методами ВКБ, с учетом
перенормировки константы взаимодействия уо. В частности, дискретный
спектр бризера принимает вид
yw'l=^fsinl6L' = О-105)
где N есть наибольшее целое число, не превышающее 8яу"'. Корепин и
Фаддеев [1.41] исследовали поправки первого порядка к уо и обнаружили,
что они согласуются с найденными ДХН [1.40]. Важный результат (1.105)
также согласуется с собственными значениями связанных состояний S-матрицы
квантованного СГ-уравнения [1.71, 1.95].
Заметим, что каждая "частица", солитон, бризер или мода | (независимо от
того, квантованны они или нет) вносит в (1.104) такой же вклад, какой
внесла бы свободная релятивистская частица подходящей массы: эти массы
равны 8ту^1 для кинка, Юту'1 sin 0 Для бризера и т для каждой моды Они
согласуются с вычисленными ранее (см. формулу (1.30) и относящиеся к ней
рассуждения), но теперь зависят от константы взаимодействия у0 и от массы
поля т (константа взаимодействия уо не имеет отношения к лоренцевым
множителям уь у2 и т. д.). Можно выразить гамильтониан ковариантного СГ-
уравнения в виде (1.104) с помощью линеаризованного дисперсионного
соотношения ю2 = т2 + k2 уравнения (1.103). Сходным образом гамильтониан
модифицированного уравнения КдФ (1.78) определяется законом движения, в
котором энергия кубически зависит от импульса [1.42]; это представляется
менее физически осмысленным, чем (1.104). Неясно, всегда ли можно найти
такие переменные, чтобы солитоны и бризеры удовлетворяли соотношению
между энергией и импульсом, характерному для линеаризованного уравнения;
уравнения РМБ, по-вндимому, являются примером случая, когда это
невозможно [1.64].
Ли [1.136] недавно подчеркнул роль, которую играет константа
взаимодействия у0 в нелинейных теориях поля. Рассмот-
so
1. Солитон и его история
рим плотность лагранжиана
(1.106)
Тогда справедливы следующие утверждения.
I) Так как мы предполагаем, что
-^F(p2o2) = -^m2o2 + 0(pV) + 0(p4o6)+ ... (1.107)
и так как только решения, зависящие от аргумента (х-Vt), являются
гармоническими волнами в линейной теории, то никаких уединенных волн
нельзя построить из этих диспергирующих линеаризованных волн, и решения
уравнений движения (1.106) типа уединенной волны будут сингулярными по р.
II) Эта сингулярность имеет характер простого полюса. Действительно,
пусть у0 = Р2 и (Зи = и. Тогда
S = Vo-1 [| и\ ~ Т "х - (и2)], (1.108)
и у0 не входит в уравнения движения для и (вычислите лагран-жевы
уравнения движения).
III) Поскольку квантовомеханическое действие есть h~\ умноженное на
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed