Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
и определить ?4 следующим образом:
S4 = ^iu/2Y4. (1-145)
Тогда из (1.141Ь) получим
4-2
Ik = (?4-1)* + *2 ^ %k-lh (k>3),
1=2
?0=-1' = 1ч==м = ^;и1-1ихх. (1-146)
Далее
6 = toj + Гсо2 = to, -f ( ? r\-keiul% )(о2,
\й=0 /
00
6 = - -J V dx - v du -f \ Y, (^+1 dx + eiulk-i dt) T]-*,
4-1
и Re{|ft+i} суть вещественные сохраняющиеся плотности. Отсюда |о = - 1,
It = - iux, g2 = Al, g3 = MX, g4 = Mxx + ~ M2, g5 = = MXXX +
(M2)X........
1.6. Открытие других N-солитонных решений 39
Сравнение с (1.54) показывает, что после отбрасывания полных производных
Re (У = 7-2, Re(y = -74....... (1.147)
Заметим, что этим способом порождаются в точности "канонические" формы Т2
и Г4 и что дополнительные полные производные получаются в явном виде как
таковые.
Трансцендентные сохраняющиеся плотности (1.59) теперь выводятся из
(1.143а), (1.141а) и определения
lk = yke-iul2. (1.148)
В силу (1.42)
It== \k{ц * и, их > U(, ...), (1-149)
и сравнение с (1.46) показывает, что плотности (1.59) имеют
вид Re {ехр(- /ы) I*_i>-
Можно также перейти к разложениям (1.143) и применить (1.143Ь) к
(1.14lb). Важные комплексные плотности появятся в такой
последовательности:
X
<7~2-.e-iu, g~3 - ie~la ^ sin udx',
- 00
X X'
?Г4 = - ie~lu ^ e~lu ^ $\r\udx"dx',
- 00 -00
X X' X"
2ГЬ = ie~iu ^ e~lu ^ e~lu ^ sin udx'"dx"dx' -f-
- оо -оо -оо
х . х .2
+ ^ e~iu( ^ sin и dx" J dx, (1.150)
- 00 \- 00 /
(Г6= ...
Для СГ-уравнения легко проверить, что
?T2t - (0~*е1и)х = О,
Г3(-(Г5е1и)х = 0; (1.151)
получим = 0, (1.152)
так что потоки суть '7~п+2е'и.
Соответствующие плотности имеют вид
X X'
Re {3~2} - cos и, Re {6Г4} = - sin и ^ cos и ^ sin и dx" dx' -
- 00 - 00
X х'
- cos и ^ sin и ^ sin и dx" dx', Re {IT6} = ... (1.153)
60
1. Солитон и его история
Они являются нелокальными и рассматриваемые как плотности гамильтонианов
несомненно дают уравнения движения с решениями типа кинков и правильные
линеаризованные дисперсионные соотношения (см. [1.42], [1.69] и
примечание на стр. 31). Осложнение вызывается требованием финитности
проинтегрированных плотностей гамильтониана, т. е. самих гамильтонианов.
Эти и другие подробности читатель может найти в пятой и шестой работах из
перечисленных в списке источников [1.147]. Некоторые другие
геометрические результаты, относящиеся к системам АКНС, также упомянуты
там и в Других включенных в этот список работах. Заметим, что для СГ-
уравнения
= -\utt sin и + ("< cos и )/2] это выражение превращается в ("<cosu)/2
после прибавления полной производной по t. Очевидно, что для СГ-уравнения
последовательность (1.153) вновь порождает (1.59), как это и должно быть.
1.7. Дальнейшее развитие метода обратной задачи рассеяния
Удобно завершить настоящее описание истории солитонов как раз 1973 г.,
когда появилась схема обратной задачи рассеяния Захарова - Шабата - АКНС.
Это не значит, конечно, что с ее созданием развитие метода закончилось. В
самом деле, мы уже упоминали по конкретным поводам успехи этой теории,
достигнутые вплоть до 1979 г., -в конце разд. 1.6, например. Но в
отношении методов обратной задачи рассеяния каждая из последующих статей
настоящего сборника развивает теорию солитонов начиная с момента,
приблизительно соответствующего уровню знаний, достигнутому в 1973 г.
Этот уровень знаний был хорошо описан в обзоре [1.4].
Теперь видно, что появление статьи Скотта и др. [1.4] отмечает как бы
водораздел в истории вопроса: в период 1965- 1973 гг. был открыт солитон,
найдены физические приложения уравнения КдФ, модифицированного уравнения
КдФ, НУШ, СГ-уравнения и изобретены методы решения этих уравнений;
начиная с 1973 г. чрезвычайно расширился круг математических структур
солитонных систем и соответственно их физических приложений. В настоящем
разделе мы просто приводим ряд наиболее важных результатов, полученных
начиная с 1973 г., не пытаясь отметить все достижения в рассматриваемой
области ввиду невозможности сделать это. Некоторые из таких достижений
описаны в других главах; мы надеемся, что приведенных ссылок достаточно,
чтобы читатель мог самостоятельно найти остальное в специальной
литературе.
Нам кажется, что начиная с середины 1973 г. важными были следующие этапы:
открытие Уолквистом и Эстабруком АПБ
1.7. Дальнейшее развитие метода
61
для уравнения КдФ [1.56], доложенное в декабре 1973 г.; решение Захаровым
и Манаковым задачи о трехволновом взаимодействии [1.46] (август 1973 г.)
и решение Каупа [1.47] (1974 г.); результат (1.104) для СГ-уравнения,
полученный Тах-таджяном и Фаддеевым [1.134] в 1974 г.; решения цепочки
Тоды (Флашка [1.152], Манаков [1.153]; Тода описывает историю своей
цепочки и ее решения в гл. 4); замечательные работы Новикова, Матвеева и
их сотрудников [1.119, 1.120] по периодической задаче для уравнения КдФ и
первая статья Новикова, опубликованная в 1974 г. (эти исследования
продолжены в гл. 10); статья Флашки и Ньюэлла [1.154] по канонической
структуре "интегрируемых" нелинейных эволюционных уравнений, появившаяся
