Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
"Д". Превосходная книга для справок по теории дифференциальных форм - это
[1.148].
Легко видеть, что П определена неоднозначно. Эта форма инвариантна
относительно "калибровочного преобразования"
v->v' = Bv,
Q^Q' = dBB~1 + BQB~\
в-+в' = ввв~\ (1.126)
где В - произвольная 2 X 2-матрица, определитель которой равен единице.
Сравним (1.125) с результатом, выводимым для псевдосфери-ческих
поверхностей. Для них можно ввести (в трехмерном пространстве) локальный
ортонормированный базис на касательной плоскости в любой точке Р
поверхности. Этот базис натянут на два вектора, скажем, ej и е2, и их
всегда можно выбрать так, чтобы
ere/ = fi</. (1.127)
"Структурные уравнения" суть (см. Фландерс [1.148])
dP - ff*ei + (Т2е2, (1.128а)
dti = сое2, (1.128b)
de2 = - atl, (1.128с)
причем о1 и о2 - это 1-формы, со есть связывающая 1-форма. Первое
уравнение (1.126а) утверждает, что Р лежит на поверхности; два оставшихся
уравнения следуют из (1.127).
Условие интегрируемости в этом случае есть сРР = 0, и из него следует
da! = <вст?, (1.129)
do2 -- too1, (1.129)
56
1. Солитон и его история
Гауссова кривизна К определяется [1.128] уравнением
da = -Ko\o2. (1.130)
Для К, в точности равного -1, выбор
(-\°2 +
Hi, , , 1 2
(например) удовлетворяет (1.125) точно.
Теперь понятно, что каждая система АКНС может быть представлена как
поверхность с постоянной отрицательной кривизной относительно некоторой
метрики1). Эта метрика задается условием
ds2 = (а1)2 + (сг2)2- (1.131)
Известно [1.149], что поверхности постоянной кривизны обладают
максимальным числом изометрий (отображений псевдо-сферических
поверхностей в себя, сохраняющих расстояние (т. е. тензорные
произведения)). Для 2-поверхностей с постоянной отрицательной кривизной
группы изометрий суть SL(2, R) и SU(1, 1). Это объясняет, например,
появление алгебр Ли этих групп в структурах продолжения систем АКНС
[1.150].
С этой точки зрения АПБ есть калибровочное преобразование (1.126),
переводящее одну псевдосферическую поверхность в другую, и для него можно
получить общую форму, пригодную для всех систем АКНС. Сохраняющиеся
плотности, которые мы сейчас выведем в явном виде, суть в точности
сохраняющиеся плотности системы АКНС, получаемые разложением относительно
бесконечно удаленной точки в плоскости ? [1.69], но их набор может быть
еще более полным. Чтобы проиллюстрировать эти идеи, мы получим
сохраняющиеся плотности для СГ-уравнения и покажем, как их дополнить в
этом случае.
Из 0 = 0 всегда можно определить две полностью интегрируемые системы
Пфаффа
0 = Yi dY[ - со3 - 2ГjCOj - Г|М21 (1.132а)
0 = у2 = dl\ - о>2 - 2Г2(о1 + Г*а2, (1.132Ь)
гдв " = (? -в,)'
а Г* суть две неизвестные функции. Из уравнения 0 получим
dy 1 =2у1(со1 + Дат,), dy2 = - 2у2 (toi - Г2(о3),
1) См. примечание на с. 54,
(1.132с) = 0 (1.125)
(1.133а)
1.6. Открытие других N-солитонных решений
5?
а из условий замкнутости d2yx - d2y2 = 0 следует, что 1-формы
61 = (0[-(-Г1О012 (1.1 ЗЗЬ)
62 - Ц*! - Г2ш3 (1.133с)
замкнуты, т. е.
de1 = de2 = 0. (1.134)
Эти выражения являются законами сохранения, но поскольку каждое из них
зависит от ?, то каждое представляет бесконечный набор нетривиальных
законов сохранения.
Из (1.98, 1.99) видно, что для СГ-уравнения нужно выбрать
">! = - у k dx - cos и dt,
<о2 =4-и, dx ¦
2k
sin и dt,
Щ = - -g UX dx - sin и dt,
(1.135)
где k есть вещественный параметр. Отсюда легко получить, например, что
система Пфаффа (1.132Ь) в точности эквивалентна (1.97). (Система (1.132а)
соответствует выбору T\ = v\/v2-) Хотя сохраняющиеся плотности (1.54)
сравнительно просто получить этим способом, удобно найти путь, который к
тому же выделяет набор (1.59). Чтобы это сделать (как указал нам Сасаки),
можно выбрать для Q следующее выражение:
1
(их dx - ut dt)
-jt\eiu2*dx +-^-eiut2dt'
т)е'"/2 dx + 4- e ~iul2r] dt
2 11*- Ч"-* i 2 ^ L*1' ~ 4
Его нужно отождествить с выражением
(1.136)
Q =
±(о'.
io2)'
(а1 + га2)
(1.137)
<в
где
а1 = cos -~{dx -f- dt),
j{dx - dt), v> = ^(uxdx - ut dt),
после чего провести масштабное преобразование х В результате метрика
задается выражением
ds2 - if (dx)2 -f- 2 cos udxdl + т) ~2 (dt)2, что совпадает с метрикой
для случая (1.135) (при т)
r\x, t
(1.138) ->т}~Ч.
(1.139) k).
68
1. Солитон и его история
Теперь оказывается, что сохраняющиеся плотности суть комплексно-
сопряженные величины 61 = 62, и нам нужно рассмотреть лишь одну из них.
Уравнение Риккати есть
0 = сгГ-(о3 + 2Г(01 + Г2(о2, (1.140)
так что
г*--2^е_ги/2-у^+^ге'и/2=°> (1Л41а)
г,-|г]e'^ + ±uxr + y це~'и/2 Г2 = 0. (1.141Ь)
Эти уравнения инвариантны относительно преобразований
t-^x, U+-+ - U, т]-*-"-!!-1. (1.142)
Их можно решить любым из двух разложений:
оо
r=?T]-'Vk (1.143а)
4=0
для (1.141Ь) или
оо
r=Srj*vfc (1.143b)
4=0
для (1.141а). В силу симметрии, если 74 = Ы"> их, ...), то Y4 = fk(u, ut,
...). Простейшая рекурсивная формула получится, если взять
Уо = - е1и'2, у] = - ieiu/2ux (1.144)
