Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
в 1975 г. (ныне дополненная, см. гл. 6); решение Лаксом [1.114] уравнения
КдФ при периодических граничных условиях в 1975 г.; обобщение Вадати
[1.155] задачи рассеяния на матрицы большего размера в 1974 г., более
подробно описанное в гл. 8; использование Калоджеро метода обобщенных
вронскианов в 1975 г. [1.78, 1.156] и осуществленное им распространение
теории рассеяния на многие "времени-подобные" независимые переменные
(отмеченное Ньюэллом в гл. 6); и наконец, распространение теории
рассеяния на матрицы большего размера, которое выполнили Калоджеро и Де-
гасперис в 1976 г., приведшее к решениям типа бумерона [1.157] и
описанное в гл. 9.
В 1974 г. появилась также замечательная статья Захарова и Шабата [1.158]
по методу обратной задачи. Идеи этой работы послужили основой
всесторонней и творческой статьи, написанной Захаровым и вошедшей в
настоящую книгу в качестве гл. 7. Она начинается с изучения представления
нелинейных дифференциальных уравнений с помощью коммутаторов пар
дифференциальных операторов. Такого рода представление описано в разд.
1.4 (лаксовы пары).
В 1975 и 1976 гг. появились работы [1.61] и [1.75] Уолк-виста и Эстабрука
по структурам продолжения. Поскольку в настоящее время эта тема активно
разрабатывается, в данной книге она не представлена, и мы рекомендуем
читателю ознакомиться с ней по статьям [1.76], [1.150], [1.159] -
[1.169], а также по работе Пирани и др [1.77], процитированной в разд.
1.3. С нашей точки зрения, геометрические методы разд. 1.6 составляют
хорошую основу для вывода структур продолжения и позволяют увидеть их
значение, скажем, для законов сохранения и преобразований Бэклунда.
Сасаки [1.147, третья и четвертая работы в этом списке] именно этим
способом выводит структуры продолжения для схемы АКНС обратной задачи
рассеяния из ее представления посредством "калибровочного поля" (1.123) и
находит аналогичные структуры для схем задачи рассеяния более общего
вида.
62
1. Солитон и его история
Весьма отличный от обсуждавшихся выше класс задач связан с открытием
Мозера, и о нем стоит рассказать несколько подробнее. Это открытие
основано на результате, полученном Мозером в 1975 г. Он показал [1.164],
как можно использовать идею лаксовой пары матричных операторов (в духе
новаторских работ Флашки [1.152] и Манакова [1.153]) для решения
одномерной многочастичной задачи с гамильтонианом
Н = gYjYj^Xl~ х*)~2' ?>0 (1-154)
/ ' i !<h
(здесь у есть импульс, дН/ду, = xlt у, == -дН/дхр 1 ^ ^ N). Уравнения
движения имеют вид лаксовой пары (1.86Ь), где С и В суть NX N-матрицы,
определяемые формулами
Bjk == Ч" i "\/S (1 ^jk) {Xj %k) >
N
Bjk = - i л/g Yik Z (х,- - Xi)~2 + / Vi(l - M (Xj - xk)~2, (1.155)
1Ф!
причем L эрмитова, а В кососимметрична. Легко проверить, что поскольку
(L+)t - (Lt)+, то в любом случае существует другое представление в виде
лаксовой пары, а именно
U =[1(В-В+), Z], (1.156)
в котором матрица (В - В+)/2 безусловно кососимметрична. В точности
как для (1.86Ь), отсюда следует, что собственные
значения С суть интегралы движения (которые также нахо-
дятся в инволюции). Этим свойством обладают и симметричные функции In,
N
det [Lik - Kbik\ = A." + ? hN~nIn, (1.157a)
n="l
и функции
- Tr (Ln/n). (1.157b)
Рассматриваемая система - это полностью интегрируемая гамильтонова
система с 2N степенями свободы.
Квантовомеханическая задача (1.154) была решена Калоджеро в 1971 г.
[1.165]. Он предположил, что классическая задача также разрешима, и
впоследствии показал [1.166] (см. также [1.72]), что для разрешимых
классических задач с парными потенциалами V{Xj - Xk), представимых
посредством лаксовой пары с анзацем, обобщающим (1.155), V{x) должна быть
эллиптической функцией Вейерштрасса 1Р(х); частными случаями этой функции
являются х~2, sh_2x и sin-2*. Открытие Мозера заключалось в том, что он
установил замечательную
1.7. Дальнейшее развитие метода
63
связь между классической многочастичной задачей (1.154) и рациональными
решениями уравнения КдФ, удовлетворяющими условию и-*-0 при x-voo; об
этой связи мы до сих пор не упоминали.
Солитонное решение (1.2) уравнения КдФ имеет двойные полюсы в комплексной
х-плоскости; Крускал [1.65] первым исследовал движение этих полюсов.
Такой характер особенностей побуждает искать рациональные решения
уравнения КдФ в виде
N
и(х, 0 = 2 ? [x-x,(t)]-*r,(t). (1.158)
Прямая подстановка (1.158) в уравнение КдФ, взятое в виде
и^ 3иих "1 2~ иххх ' (1 * 159)
показывает, что анзац (1.158) является рациональным решением этого
уравнения, если n(t) = 1 и
*/ = 6 z {х, - xk)~2, (1.160а)
кФ!
? (*,-**Г3 = 0; KXW. (1.160Ь)
ЬФ1
Рассуждения облегчаются использованием теоремы сложения для эллиптических
функций вида ф(х) = х~2
Ф (*) ф" (У) + ф7 М Ф (У) = Ф (х - У) [ф7 (У) + ф7 (*)] - Ф7 (х - у) X
Х[ф(1/)-ф(4 (1.161)
Замечателен тот факт, что система уравнений с ограничениями (1.160) для
эволюции координат X/ (уравнения движения (1.160а) ограничены
