Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Можно далее расщепить Q, выделив явно зависимость от коммутирующих нулевых духовых мод:
Q = Fq° + Gna + (15.2.4.2)
где операторы F, G и Q не зависят от всех нулевых духовых мод. Их вид легко может быть найден из выражения (15.2.2.1). В соответствии с операторным разложением (15.2.4.2) состояния могут быть представлены в виде
\а)= Z Ю<$. (15.2.4.3)
п ^ О
Мы считаем всюду, что в выражении (15.2.4.3) содержится лишь конечное число членов (формы конечной степени). Это предположение и уравнение ?2|а>=0 приводят к условию, которому должен удовлетворять коэффициент наивысшей степени I aN):
F | av) = 0. (15.2.4.4)
Но отсюда следует, что | aN^ — F | a'N_l) для некоторого Поэтому из выражения (15.2.4.3) можно исключить наивысшую степень |а^), а затем последовательно все степени n^N, кроме нулевой. После того как это сделано, мы получаем физическое состояние | а), не содержащее ни ri°, ни q°. Для такого состояния БРСТ-условие Q|a0>=0 принимает вид
(а'р2 + L — а0) | а0) = 0, (15.2.4.5а)
/7|о0> = 0, (15.2.4.56)
Q|a0) = 0. (15.2.4.5в)
Оператор Q нильпотентен на подпространстве (15.2.4.5а) и (15.2.4.56) и, как отмечалось ранее, не зависит от всех духовых мод. Кроме того, можно показать, что он является “возмущением” (в смысле Като и Огавы) линейного нильпотентного оператора, к которому непосредственно применим квартетный ме-
Фермионная струна: квантовый анализ 229
ханизм Куго и Одзимы. Поэтому из | ао) можно исключить все остальные духи [53].
Мы не будем здесь вдаваться в детали этого вопроса. Мы также опускаем проблему регуляризации скалярного произведения, которое содержит еще одно плохо определенное произведение 6(0) -0, возникающее из расходящегося интеграла по
нулевой моде ^dq° и равного нулю скалярного произведения, ассоциированного с нулевыми модами Г^. Дальнейшую информацию по этому вопросу читатель может найти в работе [53].
Беглый анализ этого раздела можно суммировать в следующей теореме.
Теорема. Любое физическое состояние |г|)>, удовлетворяющее условию ?2|г|)>= 0, может быть представлено в виде
1Ф) = |/,>|0)ДУХ + Й|х), (15.2.4.6)
где | Р>— физическое состояние ковариантного подхода, удовлетворяющее соотношениям
L0\P) = Ln\P) = 0 [п > 0), (15.2.4.7а)
F0\P) = Fn\P) = 0 (п> 0). (15.2.4.76)
Доказательство [53]. Разумеется, эта теорема не утверж-
дает, что состояние (%> нормируемо.
Замечания. 1) Если ограничить |%> асимптотическими условиями, то возникает удвоение, ассоциированное с антикоммутирующей нулевой духовой модой. Благодаря коммутирующему духу q° можно получить также дополнительное умножение, если наложить условия при <7°->±оо. 2) Духовое число для состояний (15.2.4.6) (с |%> = 0) равно ную.
Упражнение. Покажите, что любое решение уравнения
(15.2.4.4) ,F| ац}= 0 может быть представлено в виде 1%) =
=FK-i)-
Указания. Как обычно, импульс и массу можно считать с-числами. Вычислите [F(p), F(k) ], где kA — произвольный rf-вектор. Подберите kA так, чтобы выполнялось условие [F(p), |г|)>=|'ф>. Заключите отсюда, что если F(p) |г|)>= 0, то lt>= F(P) It'), где — ]i|/>=.F(&) |if>>. Здесь
= -Ж Г T*kA + i ? Л/k {a\AYAk - r*Akaf)
* L k>o
-2 Z № + W+lZ" («X - чХ).
F (k)
tl> 0
где F (p) = F.
230
Глава 15
15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
Применение БРСТ-методов к замкнутой струне проводится непосредственно. Замкнутая струна в действительности есть прямое произведение левобегущего и правобегущего секторов, каждый из которых изоморфен либо (открытой) модели Невё — Шварца, либо модели Рамона.
В соответствии с этим оказывается, что БРСТ-генератор нильпотентен только в десяти измерениях. Кроме того, интерсепт равен либо 1 (лево- и правобегущие секторы изоморфны модели Невё —Шварца), либо 1/2 (левый — модель Невё — Шварца, правый — модель Рамона), либо нулю (левый и правый — модель Рамона).
15.3. Квантование модели Невё— Шварца в калибровке светового конуса
15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
При квантовании в калибровке светового конуса нетривиальный вопрос состоит в том, является ли квантовая алгебра Пуанкаре свободной от аномалий.
К трудностям приводит лоренцев генератор М‘~, не являющийся больше квадратичным по осцилляторным переменным. При применении тех же методов, что и в случае бозонной струны, М‘~ определяется выражением
h tr 1 Иг
a'-K'V --1Z ¦+
+4e(^vJW-v^4 <15-3U)
В этом выражении величина G‘r отличается от ковариантной
